Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中.

（1）討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再換元，令，對(duì)與分類討論①②③④，即可得出函數(shù)的極值的情況.

（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在為增函數(shù)，又所以滿足條件；當(dāng)時(shí)，因換元滿足題意需在此區(qū)間，即；最后得到的取值范圍.

詳解：

（Ⅰ），設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在為增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，，

若時(shí)， ，函數(shù)在為增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn).

若時(shí)，設(shè)的兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，，且，

則

所以當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，單調(diào)遞減；

當(dāng)， ，單調(diào)遞增.因此此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；

同理當(dāng)時(shí)的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，且，

當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增；

所以函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn).

綜上可知當(dāng)時(shí)的無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的有兩個(gè)極值點(diǎn).

（Ⅱ）對(duì)于，

由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)函數(shù)在上為增函數(shù)，由，所以成立.

若，設(shè)的兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，，

且，，∴.則若，成立，則要求，

即解得.此時(shí)在為增函數(shù)，，成立

若當(dāng)時(shí)

令，顯然不恒成立.

綜上所述，的取值范圍是.