Question

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

（2）設(shè)，問函數(shù)的圖像是否關(guān)于某直線成軸對稱圖形，如果是，求出的值，如果不是，請說明理由；（可利用真命題：“函數(shù)的圖像關(guān)于某直線成軸對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)是偶函數(shù)”）

（3）設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)與的圖像有且只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，是偶函數(shù)；當(dāng)時，是奇函數(shù)；當(dāng) 時，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；理由見解析；（2）是軸對稱圖形，；（3）

【解析】

（1）函數(shù)，表示出，根據(jù)奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義，即可求得的值。

（2）根據(jù)函數(shù)關(guān)于直線成軸對稱圖形，可得恒成立，代入函數(shù)解析式即可求得的值，即可得對稱軸方程。

（3）根據(jù)函數(shù)與的圖像有且只有一個公共點，即只有一個實數(shù)根。將方程化簡，根據(jù)換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，再分類討論方程的二次項系數(shù)及根的分布問題，即可求得實數(shù)的取值范圍。

（1）函數(shù)

所以

若函數(shù)為偶函數(shù)，則，即

化簡可得 ，對任意實數(shù)成立，所以

若函數(shù)為奇函數(shù)，則，即

化簡可得 ，對任意實數(shù)成立，所以

綜上所述，當(dāng)時為偶函數(shù)；當(dāng)時，為奇函數(shù)；當(dāng)時，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

（2）函數(shù)的圖像關(guān)于直線成軸對稱圖形

則為函數(shù)向左平移個單位得到的圖像，因而關(guān)于y軸對稱，即為偶函數(shù)

所以恒成立

函數(shù)

所以

化簡可得

因為對于任意實數(shù)成立

所以，解得

所以函數(shù)是軸對稱圖形，對稱軸為直線

（3）因為

則

函數(shù)，且函數(shù)與的圖像有且只有一個公共點，

所以

化簡可得

因為只有一個公共點，所以方程只有一個實數(shù)根

令

則方程化為由且只有一個正根

①當(dāng)時，，不合題意，舍去

②當(dāng)時，

若，則

解得

當(dāng)時，代入方程可得，解得，符合題意

當(dāng)時，代入方程可得，解得，不合題意

若，則

解得

由題意可知，方程有一個正根與一個負(fù)根，即

解得

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為