【題目】已知橢圓 =1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)P（﹣2，0）與點(diǎn)（1，1）．
（1）求橢圓的方程；
（2）過P點(diǎn)作兩條互相垂直的直線PA，PB，交橢圓于A，B．
①證明直線AB經(jīng)過定點(diǎn)；
②求△ABP面積的最大值．

【答案】
（1）解：由題意可得 ，解得 ，

∴橢圓方程為


（2）①證明：由對稱性知，若存在定點(diǎn)，則必在x軸上，

當(dāng)kPA=1時(shí)，lPA：y=x+2，

聯(lián)立 ，得x2+3x+2=0，解得x=﹣1．

下面驗(yàn)證定點(diǎn)為（1，0）．

設(shè)直線PA的方程為y=k（x+2），

聯(lián)立 ，得（1+3k2）x2+12k2x+12k2﹣4=0，

解得： ．

同理可得： ．

則 ，即直線AB經(jīng)過定點(diǎn)（﹣1，0）；

②解：由題意可知，直線不與x軸平行，設(shè)直線AB方程為x=ty﹣1．

聯(lián)立 ，得（t2+3）y2﹣2ty﹣3=0．

∴ ，

∴ = ．

令 ，λ∈[3，+∞），則 ．

∴ ．

當(dāng)且僅當(dāng)λ=3，即t=0時(shí)成立


【解析】（1）把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，求解方程組可得a，b，則橢圓的方程可求；（2）①由對稱性知，若存在定點(diǎn)，則必在x軸上，求出PA所在直線斜率為1時(shí)AB所過定點(diǎn)，驗(yàn)證得答案；②設(shè)直線AB方程為x=ty﹣1．聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得A，B的縱坐標(biāo)的和與積，結(jié)合弦長公式求得面積，換元后利用基本不等式求最值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù),

（1）討論單調(diào)性;

（2）當(dāng)時(shí),函數(shù)的最大值為,求不超過的最大整數(shù) .

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知x=3是函數(shù)f（x）=aln（1+x）+x2﹣10x的一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù) ， ，對任意， ，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是__________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且2acosB=3b﹣2bcosA．

（1）求 的值；
（2）設(shè)AB的中垂線交BC于D，若cos∠ADC= ，b=2，求△ABC的面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程） 以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線C的參數(shù)方程為 (是參數(shù))，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P為曲線C上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線的距離的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)（為常數(shù)， 為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在內(nèi)存在三個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義函數(shù)F（a，b）= （a+b﹣|a﹣b|）（a，b∈R），設(shè)函數(shù)f（x）=﹣x2+2x+4，g（x）=x+2（x∈R）函數(shù)F（f（x），g（x））的最大值與零點(diǎn)之和為（ ）
A.4
B.6
C.
D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率e= ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，與圓x2+y2= 相切于點(diǎn)M．
（i）證明：OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（ii）設(shè)λ= ，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案