Question

【題目】已知拋物線（），直線與拋物線交于 (點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))兩點(diǎn)，且.

（1）求拋物線在兩點(diǎn)處的切線方程；

（2）若直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)在線段上， 的垂直平分線交軸于點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）第（1）問(wèn)，先求出拋物線的方程得到 ，再求導(dǎo)求出切線斜率，最后求出拋物線在兩點(diǎn)處的切線方程.(2)第（2）問(wèn)，先利用弦長(zhǎng)公式求出，再利用點(diǎn)到直線的距離求三角形的高，最后寫出面積的表達(dá)式，再換元利用導(dǎo)數(shù)求它的最大值.

試題解析：

（1）由，令，得，所以，解得， ，由，得，故所以在點(diǎn)的切線方程為，即，同理可得在點(diǎn)的切線方程為.

（2）由題意得直線的斜率存在且不為0，

故設(shè)， ， ，由與聯(lián)立，

得， ，

所以， ，

故.

又，所以，所以，

由，得且.

因?yàn)?/span>的中點(diǎn)為，所以的垂直平分線方程為，令，得，即，所以點(diǎn)到直線的距離，

所以

.

令，則，則，故.

設(shè)，則，結(jié)合，令，得；

令，得，所以當(dāng)，即時(shí)， .