【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,上頂點(diǎn)為M,過(guò)點(diǎn)M且斜率為的直線與交于另一點(diǎn)N,過(guò)原點(diǎn)的直線l交于PQ兩點(diǎn)

1)求周長(zhǎng)的最小值:

2)是否存在這樣的直線,使得與直線平行的弦的中點(diǎn)都在該直線上?若存在,求出該直線的方程:若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

3)直線l與線段相交,且四邊形的面積,求直線l的斜率k的取值范圍.

【答案】110;(2)存在滿足條件的直線,其方程為;(3.

【解析】

1)根據(jù)橢圓的對(duì)稱性和橢圓的定義,可知當(dāng)弦的長(zhǎng)度最小值時(shí),的周長(zhǎng)取得最小值;

2)設(shè)與直線平行的弦所在的直線方程為,將其代入曲線的方程,根據(jù)韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得中點(diǎn)坐標(biāo),消去參數(shù)可得結(jié)果;

3)設(shè)直線l的方程為,代入曲線,解得兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),聯(lián)立直線與曲線的方程,解得的坐標(biāo),求出點(diǎn)到直線的距離,然后求出四邊形的面積,根據(jù)解不等式可得結(jié)果.

1)連接,又直線l過(guò)原點(diǎn),由橢圓的對(duì)稱性得,

的周長(zhǎng)

要使得的周長(zhǎng)最小,即過(guò)原點(diǎn)的弦最短,

由橢圓的性質(zhì)可知,當(dāng)弦的短軸重合時(shí)最短,即弦的最小值為4,

周長(zhǎng)的最小值為10.

2)依題意,設(shè)與直線平行的弦所在的直線方程為,與的交點(diǎn)坐標(biāo)為,

平行弦中點(diǎn)的坐標(biāo)為

聯(lián)立,化簡(jiǎn)整理得

當(dāng)

時(shí),平行弦存在,

,,則,

故存在滿足條件的直線,其方程為.

3)設(shè)直線l的方程為,點(diǎn).(不妨設(shè)),

消去并化簡(jiǎn)得,即,

依題意,直線的方程為,

,得,解得

所以,,所以,

.

l與線段有交點(diǎn)且為四邊形,所以,即,

點(diǎn)PQ到直線的距離分別為,,

,

,即.

化簡(jiǎn)整理得,,解得

,所以.

則所求的直線l的斜率k的取值范圍為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖所示,已知焦點(diǎn)為的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線軸于點(diǎn).

1)判斷線段的中垂線是否過(guò)定點(diǎn),若是求出定點(diǎn)坐標(biāo),若不是說(shuō)明理由;

2)過(guò)點(diǎn)的垂線交拋物線于另一點(diǎn),求面積的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知

)當(dāng)時(shí),判斷在定義域上的單調(diào)性;

)若上的最小值為,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】隨著人們生活水平的不斷提高,肥胖人數(shù)不斷增多.世界衛(wèi)生組織(WHO)常用身體質(zhì)量指數(shù)(BMI)來(lái)衡量人體胖瘦成度以及是否健康,其計(jì)算公式是.成人的BMI數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)為:BMI偏瘦;BMI為正常;BMI為偏胖;BMI為肥胖.某研究機(jī)構(gòu)為了解某快遞公司員工的身體質(zhì)量指數(shù),研究人員從公司員工體檢數(shù)據(jù)中,抽取了8名員工(編號(hào)1-8)的身高cm)和體重kg)數(shù)據(jù),并計(jì)算得到他們的BMI(精確到0.1)如下表:

號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

身高(cm

163

164

165

168

170

172

176

182

體重(kg

54

60

77

72

68

72

55

BMI(近似值)

20.3

22.3

28.3

25.5

23.5

23.7

23.2

16.6

1)現(xiàn)從這8名員工中選取3人進(jìn)行復(fù)檢,記抽取到BMI值為正常員工的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

2)研究機(jī)構(gòu)分析發(fā)現(xiàn)公司員工的身高cm)和體重kg)之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,在編號(hào)為6的體檢數(shù)據(jù)丟失之前調(diào)查員甲已進(jìn)行相關(guān)的數(shù)據(jù)分析,并計(jì)算得出該組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為,且根據(jù)回歸方程預(yù)估一名身高為180cm的員工體重為71kg,計(jì)算得到的其它數(shù)據(jù)如下:,.

①求的值及表格中8名員工體重的平均值.

②在數(shù)據(jù)處理時(shí),調(diào)查員乙發(fā)現(xiàn)編號(hào)為8的員工體重?cái)?shù)據(jù)有誤,應(yīng)為63kg,身高數(shù)據(jù)無(wú)誤,請(qǐng)你根據(jù)調(diào)查員乙更正的數(shù)據(jù)重新計(jì)算線性回歸方程,并據(jù)此預(yù)估一名身高為180cm的員工的體重.

附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為: ,.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率為,且橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)為.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn),且以線段為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn),求面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知矩形和菱形所在平面互相垂直,如圖,其中 , ,點(diǎn)為線段的中點(diǎn).

(Ⅰ)試問(wèn)在線段上是否存在點(diǎn),使得直線平面?若存在,請(qǐng)證明平面,并求出的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(Ⅱ)求二面角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下列命題中假命題是(

A.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則

B.已知直線平面,直線平面,則的必要不充分條件;

C.,則方向上的正射影的數(shù)量為

D.命題的否定

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為,其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)的值,并求的單調(diào)區(qū)間;

(2)證明:

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).

1)求的取值范圍;

2)設(shè)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為:,,證:.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案