【題目】已知橢圓:的離心率為,且橢圓上一點的坐標(biāo)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓交于,兩點,且以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點,求面積的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)將點坐標(biāo)代入橢圓方程,結(jié)合橢圓的離心率列方程,解方程求得的值,由此求得橢圓方程.(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,消去,得到關(guān)于的一元二次方程,寫出韋達定理,根據(jù)列方程,解方程求得的值.由此判斷出直線過定點,由求得三角形面積的表達式,利用換元法,結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性,求得三角形面積的最大值.
(1)由已知,又,則.
橢圓方程為,將代入方程得,,
故橢圓的方程為;
(2)不妨設(shè)直線的方程,
聯(lián)立消去得.
設(shè),,則有,①
又以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點,∴,
由,得,
將,代入上式得
,
將①代入上式求得或(舍),
則直線恒過點.
∴,
設(shè),則在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時,取得最大值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,數(shù)軸,的交點為,夾角為,與軸、軸正向同向的單位向量分別是,.由平面向量基本定理,對于平面內(nèi)的任一向量,存在唯一的有序?qū)崝?shù)對,使得,我們把叫做點在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(以下各點的坐標(biāo)都指在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)).
(1)若,為單位向量,且與的夾角為,求點的坐標(biāo);
(2)若,點的坐標(biāo)為,求向量與的夾角;
(3)若,求過點的直線的方程,使得原點到直線的距離最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的方程為,曲線是以坐標(biāo)原點為頂點,直線為準線的拋物線.以坐標(biāo)原點為極點,軸非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)分別求出直線與曲線的極坐標(biāo)方程:
(2)點是曲線上位于第一象限內(nèi)的一個動點,點是直線上位于第二象限內(nèi)的一個動點,且,請求出的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為鼓勵家;,與某手機通訊商合作,為教師辦理流量套餐.為了解該校教師手機流量使用情況,通過抽樣,得到位教師近年每人手機月平均使用流量(單位:)的數(shù)據(jù),其頻率分布直方圖如下:
若將每位教師的手機月平均使用流量分別視為其手機月使用流量,并將頻率為概率,回答以下問題.
(Ⅰ) 從該校教師中隨機抽取人,求這人中至多有人月使用流量不超過 的概率;
(Ⅱ) 現(xiàn)該通訊商推出三款流量套餐,詳情如下:
套餐名稱 | 月套餐費(單位:元) | 月套餐流量(單位:) |
這三款套餐都有如下附加條款:套餐費月初一次性收取,手機使用一旦超出套餐流量,系統(tǒng)就自動幫用戶充值 流量,資費元;如果又超出充值流量,系統(tǒng)就再次自動幫用戶充值 流量,資費元/次,依次類推,如果當(dāng)月流量有剩余,系統(tǒng)將自動清零,無法轉(zhuǎn)入次月使用.
學(xué)校欲訂購其中一款流量套餐,為教師支付月套餐費,并承擔(dān)系統(tǒng)自動充值的流量資費的,其余部分由教師個人承擔(dān),問學(xué)校訂購哪一款套餐最經(jīng)濟?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某中學(xué)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情況,從該校抽了名學(xué)生,分析了這名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(單位:分),得到了如下的頻率分布直方圖:
(1)求頻率分布直方圖中的值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(精確到);
(3)在這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中,從成績在的學(xué)生中任選人,求次人的成績都在中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均純收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線和的焦點分別為,點且為坐標(biāo)原點).
(1)求拋物線的方程;
(2)過點的直線交的下半部分于點,交的左半部分于點,求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,,四邊形和四邊形是兩個全等的等腰梯形.
(1)求證:四邊形為矩形;
(2)若平面平面,,,,求多面體的體積.
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