Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)的極小值為0，求的值；

（2）且，求證：.

Answer 1

【答案】(1).(2)見解析.

【解析】

（1）根據(jù)導數(shù)在定義域內(nèi)是否有零點確定分類討論的標準為和，然后分別討論導數(shù)的符號，確定當時在處取得極小值，再通過討論的單調(diào)性，從而由有唯一解.

（2）一方面，可以將問題等價轉(zhuǎn)化為證當時，恒成立問題，然后構(gòu)造函數(shù)，通過其導數(shù)確定單調(diào)性，從而使問題得證；另一方面，也可以直接構(gòu)造函數(shù)（），由其二階導數(shù)以及的范圍確定一階導數(shù)的單調(diào)性，從而確定的符號，進而確定的單調(diào)性，可得，使問題得證.

（Ⅰ）因為

所以，

當時，，函數(shù)在定義域上遞增，不滿足條件；

當時，函數(shù)在上遞減，在上遞增，

故在取得極小值0，，

令，，所以在（0，1）單調(diào)遞增，

在單調(diào)遞減，故，的解為，

故.

（2）證法1：由，

，所以只需證當時，恒成立.

令

由（1）可知，令得

在上遞增，故，所以命題得證.

證法2：，

設(shè)（），則，

則，又，，得，

所以單調(diào)遞增，得，

所以單調(diào)遞增，得，得證．