【題目】已知橢圓：的離心率為，橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，射線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓交于，兩個(gè)相異點(diǎn)，證明：面積為定值.

【答案】（1）； （2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率和把過(guò)的點(diǎn)代入橢圓方程，根據(jù)得到的式子求出.

（2）當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，易得的面積，當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)為，與橢圓相切，得到和的關(guān)系，再由直線(xiàn)和橢圓聯(lián)立方程組，得到、，

利用弦長(zhǎng)公式表示出，再得到和的關(guān)系，由到的距離，得到到的距離，從而計(jì)算出的面積.得到結(jié)論為定值.

（1）解：因?yàn)?/span>的離心率為，

所以，

解得.①

將點(diǎn)代入，整理得.②

聯(lián)立①②，得，，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）證明：①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，

點(diǎn)為或，由對(duì)稱(chēng)性不妨取，

由（1）知橢圓的方程為，所以有.

將代入橢圓的方程得，

所以 .

②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，

將代入橢圓的方程

得，

由題意得，

整理得.

將代入橢圓的方程，

得.

設(shè)，，

則，，

所以 .

設(shè)，，，則可得，.

因?yàn)?/span>，所以，

解得（舍去），

所以，從而.

又因?yàn)辄c(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，

所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，

所以 ，

綜上，的面積為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），記直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，證明：為定值，并求出該定值.

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【題目】某公司為了解廣告投入對(duì)銷(xiāo)售收益的影響，在若干地區(qū)各投入4萬(wàn)元廣告費(fèi)用，并將各地的銷(xiāo)售收益繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）.由于工作人員失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從0開(kāi)始計(jì)數(shù)的.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長(zhǎng)方形的寬度；

（2）估計(jì)該公司投入4萬(wàn)元廣告費(fèi)用之后，對(duì)應(yīng)銷(xiāo)售收益的平均值（以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值）；

（3）該公司按照類(lèi)似的研究方法，測(cè)得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到下表：

廣告投入x（單位：萬(wàn)元）

1

2

3

4

5

銷(xiāo)售收益y（單位：萬(wàn)元）

1

3

4

7

表中的數(shù)據(jù)顯示，x與y之間存在線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)將（2）的結(jié)果填入上表的空白欄，并計(jì)算y關(guān)于x的回歸方程.

回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線(xiàn),拋物線(xiàn)上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.

(Ⅰ)求拋物線(xiàn)的方程及其準(zhǔn)線(xiàn)方程;

(Ⅱ)過(guò)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于不同的兩點(diǎn),交直線(xiàn)于點(diǎn),直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn). 是否存在這樣的直線(xiàn),使得? 若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;若存在,求出直線(xiàn)的方程.

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【題目】設(shè)橢圓，定義橢圓的“相關(guān)圓”方程為．若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形．

(1)求橢圓的方程和“相關(guān)圓”的方程；

(2)過(guò)“相關(guān)圓”上任意一點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)．為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，證明原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是定值，并求的取值范圍.

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【題目】已知橢圓:,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)是,且點(diǎn)在橢圓上.

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足:,其中,是橢圓上的點(diǎn),直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之積為,求點(diǎn)的軌跡方程并判斷是否存在兩個(gè)定點(diǎn)、,使得為定值？若存在,求出定值;若不存在,說(shuō)明理由.

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【題目】已知函數(shù).

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（1）分別求出直線(xiàn)與曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程：

（2）點(diǎn)是曲線(xiàn)上位于第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線(xiàn)上位于第二象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，請(qǐng)求出的最大值.

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【題目】在空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，如果EH，F(xiàn)G相交于一點(diǎn)M，那么M一定在直線(xiàn)________上．

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