Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，有，橢圓的離心率為；

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知，過點作斜率為k（k>0）的直線與橢圓交于，不同兩點，線段的中垂線為，記的縱截距為，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的定義得到的值，再根據(jù)離心率得到的值，從而計算出即得橢圓方程．

（2）設(shè)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達定理算出的中點坐標（用表示），再計算中垂線的直線方程，從而得到，而由直線與橢圓相交可得，最后利用導數(shù)求的取值范圍．

（1）因為，所以，所以 ，

因為，所以 ，

所以 ，所以橢圓的標準方程為．

（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè):，，，

聯(lián)立直線與橢圓，消去得，·

，，·

又，解得：，

·故．

設(shè)，的中點為，則，，

所以：，即，

化簡得：，

令，得，，

，當時，恒成立， 所以在上為增函數(shù)，所以．