Question

【題目】已知曲線的焦點(diǎn)是，、是曲線上不同兩點(diǎn)，且存在實(shí)數(shù)使得，曲線在點(diǎn)、處的兩條切線相交于點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）點(diǎn)在軸上，以為直徑的圓與的另一交點(diǎn)恰好是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意知、、三點(diǎn)共線，可設(shè)直線的方程為，并設(shè)點(diǎn)，，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在點(diǎn)、處的切線方程，將兩切線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出點(diǎn)的軌跡方程；

（2）由，利用坐標(biāo)運(yùn)算得出，代入韋達(dá)定理解出，根據(jù)對(duì)稱性取，求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，由轉(zhuǎn)化為可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并得出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算出，利用點(diǎn)到直線的距離公式分別計(jì)算出和的高，并計(jì)算出這兩個(gè)三角形的面積，相加即可得出四邊形的面積.

（1）曲線就是拋物線，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．

存在實(shí)數(shù)使得，則、、三點(diǎn)共線．

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不符合題意；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立消去，整理得，判別式，設(shè)，，

則、就是方程的兩實(shí)根，，．

，，切線斜率，

則曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即①．

同理得曲線在點(diǎn)處的切線方程是②．

聯(lián)立①②得，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

因此，點(diǎn)的軌跡方程為；

（2）已知，在（1）的解答的基礎(chǔ)上，

，，則，.

，解得，，代入中，解得，

注意到對(duì)稱性，求四邊形面積，只需取即可．

，設(shè)的中點(diǎn)為，則，．

已知點(diǎn)在以點(diǎn)為直徑的圓上，則，

設(shè)，由，得，即，

解得，則.

將直線的方程化為，

則點(diǎn)到的距離.

所以．

在（1）的解答中，聯(lián)立①②消去解得，

則兩切線交點(diǎn)坐標(biāo)為，

時(shí)，，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

到的距離．

所以．

又已知、在兩側(cè)，所以．