【題目】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),且對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(2)=1,且x>1時(shí),f(x)>0.

(1)求f()的值;

(2)判斷y=f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性并給出證明;

(3)解不等式f(2x)>f(8x-6)-1.

【答案】(1)-1 ; (2)見解析; (3){x|}.

【解析】

(1)先給x,y取值,當(dāng)x=y(tǒng)=1時(shí),求出 f(1)=0. 當(dāng)x=2,y=時(shí),即可求出f()的值.(2) y=f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),再利用單調(diào)性的定義證明.(3) 由(1)知,f()=-1,所以f(8x-6)-1=f(8x-6)+f(),得到f(2x)>f(4x-3),再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式得解.

(1)對(duì)于任意x,y∈R都有f(xy)=f(x)+f(y),

∴當(dāng)x=y(tǒng)=1時(shí),有f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0.

當(dāng)x=2,y=時(shí),有f(2×)=f(2)+f(),

即f(2)+f()=0,又f(2)=1,∴f()=-1.

(2)y=f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),證明如下:

設(shè)0<x1<x2,則f(x1)+f()=f(x2),

即f(x2)-f(x1)=f().

>1,故f()>0,

即f(x2)>f(x1),故f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).

(3)由(1)知,f()=-1,∴f(8x-6)-1=f(8x-6)+f()

=f( (8x-6))=f(4x-3)

∴f(2x)>f(4x-3),

∵f(x)在定義域(0,+∞)上為增函數(shù),∴

解得解集為{x|}.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求的方程;

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1)求A、B兩種型號(hào)臺(tái)燈每臺(tái)分別多少元?

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