已知二次曲線Ck的方程:
x2
9-k
+
y2
4-k
=1

(1)分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件;
(2)對于點P(-1,0),是否存在曲線Ck交直線y=x+1于A、B兩點,使得
AB
=-2
BP
?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由;
(3)已知Ck與直線y=x+1有公共點,求其中實軸最長的雙曲線方程.
分析:(1)當且僅當
9-k>0
4-k>0
時,方程表示橢圓;當且僅當(9-k)(4-k)<0,方程表示雙曲線.
(2)聯(lián)立
(4-k)x2+(9-k)y2=(9-k)(4-k)
y=x+1
,得:(13-2k)x2+2(9-k)x+(9-k)(k-3)=0有兩個實根,△=4(9-k)•2(k-4)(k-6)>0⇒k<4或6<k<9.由此能夠?qū)С鰇不存在.
(3)因為ck為雙曲線,所以4<k<9,由△≥0,可得6≤k<9.由此能求出實軸最長的雙曲線方程.
解答:解:(1)當且僅當
9-k>0
4-k>0
即 k<4時,方程表示橢圓;--------------------------(2分)
當且僅當(9-k)(4-k)<0,即4<k<9時,方程表示雙曲線.---------------------(4分)
(2)聯(lián)立
(4-k)x2+(9-k)y2=(9-k)(4-k)
y=x+1

得:(13-2k)x2+2(9-k)x+(9-k)(k-3)=0有兩個實根-----------------------------(6分)
△=4(9-k)•2(k-4)(k-6)>0⇒k<4或6<k<9----------------(8分)
設:A(x1,y1),B(x2,y2),由
AB
=-2
BP

得到
x1+x2=-2
y1+y2=0
----------------(10分)
-2(9-k)
13-2k
=-2
,
得到 k=4,所以k不存在-----------------------------------(12分)
(3)因為ck為雙曲線,所以4<k<9由△≥0,可得6≤k<9--------------------------(15分)
雙曲線實軸2a=9-k≤3,所以最長時k=6,此時雙曲線方程為
x2
3
-
y2
2
=1
---(18分)
點評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識,解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知二次曲線Ck的方程:
x2
9-k
+
y2
4-k
=1

(1)分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件;
(2)若雙曲線Ck與直線y=x+1有公共點且實軸最長,求雙曲線方程;
(3)m、n為正整數(shù),且m<n,是否存在兩條曲線Cm、Cn,其交點P與點F1(-
5
,0),F2(
5
,0)
滿足PF1⊥PF2,若存在,求m、n的值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(08年浦東新區(qū)模擬理)  已知二次曲線Ck的方程:

(1)分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件;

(2)若雙曲線Ck與直線有公共點且實軸最長,求雙曲線方程;

(3)、為正整數(shù),且<,是否存在兩條曲線Cm、Cn,其交點與點,滿足?若存在,求的值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知二次曲線Ck的方程:
x2
9-k
+
y2
4-k
=1

(1)分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件;
(2)若雙曲線Ck與直線y=x+1有公共點且實軸最長,求雙曲線方程;
(3)m、n為正整數(shù),且m<n,是否存在兩條曲線Cm、Cn,其交點P與點F1(-
5
,0),F2(
5
,0)
滿足PF1⊥PF2,若存在,求m、n的值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:2008年上海市浦東新區(qū)高考數(shù)學二模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知二次曲線Ck的方程:
(1)分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件;
(2)對于點P(-1,0),是否存在曲線Ck交直線y=x+1于A、B兩點,使得?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由;
(3)已知Ck與直線y=x+1有公共點,求其中實軸最長的雙曲線方程.

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