Question

（08年浦東新區(qū)模擬理）  已知二次曲線C_k的方程：．

（1）分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件；

（2）若雙曲線C_k與直線有公共點且實軸最長，求雙曲線方程；

（3）、為正整數(shù)，且<，是否存在兩條曲線C_m、C_n，其交點與點，滿足？若存在，求、的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解析：（1）當(dāng)且僅當(dāng)即 時，方程表示橢圓；

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，方程表示雙曲線．

（2）解法一：由化簡得：--6分

≥0，即≥6或k≤4（舍）

∵雙曲線實軸最長，∴k取最小值6時，最大即雙曲線實軸最長，

此時雙曲線方程為．  

解法二：若C_k表示雙曲線；則，不妨設(shè)雙曲線方程為 

聯(lián)立得 

與直線有公共點，

∴即，∴，

∴實軸最長的雙曲線方程為．

解法三：不妨先求得關(guān)于直線的對稱點，

設(shè)直線與雙曲線左支交點為M，則

 

∴，∴實軸最長的雙曲線方程為．

解法四：設(shè)雙曲線與直線公共點為 

則 有解，即有解，

∴

∴， ∴實軸最長的雙曲線方程為．

（3）由（1）知、、是橢圓，、、、是雙曲線，結(jié)合圖像的幾何性質(zhì)，任意兩橢圓之間無公共點，任意兩雙曲線之間也無公共點

設(shè)，，， 

則根據(jù)橢圓、雙曲線定義及（即），應(yīng)有

，

 所以+=8，

所以這樣的、存在，且或或