【題目】已知橢圓 的長軸長是短軸長的兩倍，且過點(diǎn)C（2，1），點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求橢圓E的方程；
（2）點(diǎn)P在橢圓E上，直線CP和DP的斜率都存在且不為0，試問直線CP和DP的斜率之積是否為定值？若是，求此定值；若不是，請說明理由：
（3）平行于CD的直線l交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，求△CMN面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程．

【答案】
（1）解：∵2a=22b，∴a=2b．

設(shè)橢圓方程為 ．

橢圓E過點(diǎn)C（2，1），

代入橢圓方程得 ，解得 ，則 ，

所以所求橢圓E的方程為 ；


（2）解：依題意得D（﹣2，﹣1）在橢圓E上．

CP和DP的斜率KCP和KDP均存在．

設(shè)P（x，y），則 ， ，

①

又∵點(diǎn)P在橢圓E上，

∴ ，∴x2=8﹣4y2，代入①得，

．

所以CP和DP的斜率KCP和KDP之積為定值


（3）解：CD的斜率為 ，∵CD平行于直線l，∴設(shè)直線l的方程為 ．

由 ，

消去y，整理得x2+2tx+（2t2﹣4）=0．

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）．

由 ，得|MN|=

= ．

．

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)t2=4﹣t2時(shí)取等號(hào)，即t2=2時(shí)取等號(hào)

所以△MNC面積的最大值為2．

此時(shí)直線l的方程


【解析】（1）由橢圓長軸長是短軸長的兩倍設(shè)出橢圓的方程，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入橢圓方程可求解b，則橢圓的方程可求；（2）設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出直線CP和DP的斜率，由點(diǎn)P在橢圓上得到P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系式，代入斜率乘積的表達(dá)式整理可得直線CP和DP的斜率之積為定值；（3）由直線l平行于CD，設(shè)出直線l的斜截式方程，和橢圓方程聯(lián)立后求出弦MN的長度，由點(diǎn)到直線的距離公式求出C到MN的距離，代入面積公式后利用基本不等式求最大值，并求出使面積最大時(shí)的直線l的方程．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x），如果對于任意給定的等比數(shù)列{an}，{f（an）}仍是等比數(shù)列，則稱f（x）為“保等比數(shù)列函數(shù)”．現(xiàn)有定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數(shù)：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）= ；④f（x）=ln|x|．則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f（x）的序號(hào)為（ ）
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④

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【題目】如圖，AB、CD是圓的兩條平行弦，BE∥AC，BE交CD于E、交圓于F，過A點(diǎn)的切線交DC的延長線于P，PC=ED=1，PA=2．

（1）求AC的長；
（2）試比較BE與EF的長度關(guān)系．

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【題目】如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA是切線，A為切點(diǎn)，割線PBC與⊙O相交于點(diǎn)B，C，PC=2PA，D為PC的中點(diǎn)，AD的延長線交⊙O于點(diǎn)E，證明：

（1）BE=EC；
（2）ADDE=2PB2 ．

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【題目】已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),=(3λ,4λ)(λ≠0),=-4,若拋物線y2=ax經(jīng)過A和B兩點(diǎn),則a的值為(　　)

A. 2 B. -2

C. -4 D. 4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)P(x0,3)與點(diǎn)Q(x0,4)分別在橢圓=1與拋物線y2=2px(p>0)上.

(1)求拋物線的方程;

(2)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(y1≤0,y2≤0)是拋物線上的兩點(diǎn),∠AQB的角平分線與x軸垂直,求直線AB在y軸上的截距的取值范圍.

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【題目】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足：
anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1=λanan+1（λ≠0，n∈N ）
（1）若a1 ， a2 ， a3成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的值；
（2）若λ= ，求Sn ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足4Sn＝(an＋1)2.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f （x）=（x+1）lnx﹣a （x﹣1）在x=e處的切線與y軸相交于點(diǎn)（0，2﹣e）．
（1）求a的值；
（2）函數(shù)f （x）能否在x=1處取得極值？若能取得，求此極值；若不能，請說明理由．
（3）當(dāng)1＜x＜2時(shí)，試比較 與 大�。�

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