【題目】設(shè)函數(shù)f (x)=(x+1)lnx﹣a (x﹣1)在x=e處的切線與y軸相交于點(0,2﹣e).
(1)求a的值;
(2)函數(shù)f (x)能否在x=1處取得極值?若能取得,求此極值;若不能,請說明理由.
(3)當(dāng)1<x<2時,試比較 與 大。
【答案】
(1)解:f′(x)=lnx+ +1﹣a,
依題設(shè)得 =f′(e),即
e+1﹣a(e﹣1)﹣(2﹣e)=e ,
解得a=2
(2)解:函數(shù)f (x)不能在x=1處取得極值.
因為f′(x)=lnx+ ﹣1,記g(x)=ln x+ ﹣1,則g′(x)= .
①當(dāng)x>1時,g′(x)>0,所以g(x)在(1,+∞)是增函數(shù),
所以g(x)>g(1)=0,所以f′(x)>0;
②當(dāng)0<x<1時,g′(x)<0,所以g(x)在(0,1)是減函數(shù),
所以g(x)>g(1)=0,即有f′(x)>0.
由①②得f (x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
所以x=1不是函數(shù)f (x)極值點.
(3)解:當(dāng)1<x<2時, > ﹣ .
證明如下:由(2)得f (x)在(1,+∞)為增函數(shù),
所以當(dāng)x>1時,f(x)>f (1)=0.
即(x+1)lnx>2(x﹣1),所以 < .①
因為1<x<2,所以0<2﹣x<1, >1,所以 < = ,
即﹣ < .②
①+②得 ﹣ < + =
【解析】
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【題目】已知橢圓 的長軸長是短軸長的兩倍,且過點C(2,1),點C關(guān)于原點O的對稱點為點D.
(1)求橢圓E的方程;
(2)點P在橢圓E上,直線CP和DP的斜率都存在且不為0,試問直線CP和DP的斜率之積是否為定值?若是,求此定值;若不是,請說明理由:
(3)平行于CD的直線l交橢圓E于M,N兩點,求△CMN面積的最大值,并求此時直線l的方程.
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【題目】已知橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,離心率等于,它的一個頂點恰好是拋物線x2=8y的焦點.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線x=﹣2與橢圓交于P,Q兩點,A,B是橢圓上位于直線x=﹣2兩側(cè)的動點,若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的最大值.
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【題目】設(shè)p:實數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2<0; q:實數(shù)x滿足<0.
(1)若a=1,且p∨q為真,求實數(shù)x的取值范圍;
(2)若p是q的必要不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】如圖,A、B、C、D為平面四邊形ABCD的四個內(nèi)角.
(1)證明:tan ;
(2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan +tan +tan +tan 的值.
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【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,不能證明AP⊥BC的條件是( )
A.AP⊥PB,AP⊥PC
B.AP⊥PB,BC⊥PB
C.平面BPC⊥平面APC,BC⊥P C
D.AP⊥平面PBC
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【題目】如圖,在底面為梯形的四棱錐S﹣ABCD中,已知AD∥BC,∠ASC=60°,∠BAD=135°,AD=DC= ,SA=SC=SD=2,O為AC中點.
(1)求證:SO⊥平面ABCD;
(2)求二面角A﹣SB﹣C的余弦值.
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【題目】已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,AD⊥AB,AD=AB=CD=1,PD⊥平面ABCD,PD=,E是PC的中點.
(1)證明:BE∥平面PAD;
(2)求二面角E-BD-C的大小.
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【題目】已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1+a2=6,a1a2=a3 .
(1)求數(shù)列{an}通項公式;
(2){bn} 為各項非零的等差數(shù)列,其前n項和為Sn , 已知S2n+1=bnbn+1 , 求數(shù)列 的前n項和Tn .
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