Question

【題目】已知Sn是正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，滿足a1＝2，anan+1＝6Sn﹣2，n∈N*．

（1）求證：{an}是等差數(shù)列；

（2）記bn＝2n，求數(shù)列{|an﹣bn|}的前n項(xiàng)和Tn．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）Tn．

【解析】

（1）由anan+1＝6Sn﹣2當(dāng)n≥2時(shí)，有an﹣1an＝6Sn﹣1﹣2，兩式相減得an+1﹣an﹣1＝6，再由數(shù)列的前幾項(xiàng)推證出結(jié)果；

（2）由（Ⅰ）可得an＝3n﹣1，記cn＝bn﹣an，研究其單調(diào)性，判斷其符號(hào)，再求前n項(xiàng)和Tn．

解：（1）證明：∵a1＝2，anan+1＝6Sn﹣2①， ∴當(dāng)n≥2時(shí)，有an﹣1an＝6Sn﹣1﹣2②，

由①﹣②整理得an+1﹣an﹣1＝6，

∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)均是公差為6的等差數(shù)列，

又由題設(shè)條件可得a1＝2，a2＝5，a3＝8，a4＝11，

所以an+1﹣an＝3，故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列；

（2）解：由（Ⅰ）可得an＝3n﹣1，又bn＝2n，記，

∴當(dāng)n≥2時(shí)，cn單調(diào)遞增，且c1＝0，c2＝﹣1，c3＝0，從第4項(xiàng)起，cn＞0，

∴當(dāng)n＝1時(shí)，有T1＝0；當(dāng)n＝2時(shí)，有T2＝1；

當(dāng)n≥3時(shí)，有Tn＝﹣c1﹣c2+c3+c4+…+cn＝1+（23+24+…+2n）+n﹣2﹣3（3+4+5+…+n）

＝n﹣13＝2n+1，

故Tn．