【題目】已知拋物線軸交于點,直線與拋物線交于點,兩點.直線,分別交橢圓于點、,不重合)

(1)求證:

(2)若,求直線的斜率的值;

(3)若為坐標原點,直線交橢圓,若,且,則是否為定值?若是,求出定值;若不是,請說明理由.

【答案】(1)證明見解析;(2);(3)是定值,為定值10.

【解析】

(1) 直線和拋物線方程聯(lián)立,根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系、斜率公式可以計算出,也就證明出;

(2)設(shè)出直線的斜率,直線的斜率,求出它們的直線方程,通過解一元二次方程組求出,的坐標,最后利用面積公式求出的表達式,同理求出的表達式,最后求出直線的斜率的值;

(3) 設(shè),,根據(jù)余弦定理和,可以得到又,.通過對兩個等式進行移項相乘和兩個等式相加,最后可以求出的值為定值.

解:(1)由題意知,直線的方程為

,

設(shè),,則,是上述方程的兩個實根,

于是,

又點的坐標為

所以

,即

(2)設(shè)直線的斜率為,則直線的方程為

,解得,或,則點的坐標為

又直線的斜率為,同理可得點的坐標為

于是,

,

解得,則點的坐標為

又直線的斜率為,同理可得點的坐標

于是,

因此,

由題意知,解得

又由點,的坐標可知,,所以

(3)設(shè),,四邊形為平行四邊形,

由余弦定理有,

,

兩式相加得

,,

上面兩式移項相乘得,

上面兩式相加得

所以

因此為定值10

練習冊系列答案
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【題目】隨著“北京八分鐘”在韓國平昌冬奧會驚艷亮相,冬奧會正式進入了北京周期,全社會對冬奧會的熱情空前高漲.

(1)為迎接冬奧會,某社區(qū)積極推動冬奧會項目在社區(qū)青少年中的普及,并統(tǒng)計了近五年來本社區(qū)冬奧項目青少年愛好者的人數(shù)(單位:人)與時間(單位:年),列表如下:

依據(jù)表格給出的數(shù)據(jù),是否可用線性回歸模型擬合的關(guān)系,請計算相關(guān)系數(shù)并加以說明(計算結(jié)果精確到0.01).

(若,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合)

附:相關(guān)系數(shù)公式,參考數(shù)據(jù).

(2)某冰雪運動用品專營店為吸引廣大冰雪愛好者,特推出兩種促銷方案.

方案一:每滿600元可減100元;

方案二:金額超過600元可抽獎三次,每次中獎的概率同為 ,且每次抽獎互不影響,中獎1次打9折,中獎2次打8折,中獎3次打7折. v

兩位顧客都購買了1050元的產(chǎn)品,并且都選擇第二種優(yōu)惠方案,求至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率;

②如果你打算購買1000元的冰雪運動用品,請從實際付款金額的數(shù)學期望的角度分析應(yīng)該選擇哪種優(yōu)惠方案.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知兩點分別在軸和軸上運動,且,若動點滿足.

1)求出動點P的軌跡對應(yīng)曲線C的標準方程;

2)一條縱截距為2的直線與曲線C交于P,Q兩點,若以PQ直徑的圓恰過原點,求出直線方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖:在四棱錐中,平面.,.點的交點,點在線段上且.

(1)證明:平面

(2)求直線與平面所成角的正弦值;

(3)求二面角的正切值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為了紀念“一帶一路”倡議提出五周年,某城市舉辦了一場知識競賽,為了了解市民對“一帶一路”知識的掌握情況,從回收的有效答卷中按青年組和老年組各隨機抽取了40份答卷,發(fā)現(xiàn)成績都在內(nèi),現(xiàn)將成績按區(qū)間,,,,進行分組,繪制成如下的頻率分布直方圖.

青年組

中老年組

(1)利用直方圖估計青年組的中位數(shù)和老年組的平均數(shù);

(2)從青年組,的分數(shù)段中,按分層抽樣的方法隨機抽取5份答卷,再從中選出3份答卷對應(yīng)的市民參加政府組織的座談會,求選出的3位市民中有2位來自分數(shù)段的概率.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,直線過點且與直線垂直,直線軸交于點,點與點關(guān)于軸對稱,動點滿足.

(Ⅰ)求動點的軌跡的方程;

(Ⅱ)過點的直線與軌跡相交于兩點,設(shè)點,直線的斜率分別為,問是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】團體購買公園門票,票價如下表:

購票人數(shù)

1~50

51~100

100以上

門票價格

13元/人

11元/人

9元/人

現(xiàn)某單位要組織其市場部和生產(chǎn)部的員工游覽該公園,若按部門作為團體,選擇兩個不同的時間分別購票游覽公園,則共需支付門票費為1290元;若兩個部門合在一起作為一個團體,同一時間購票游覽公園,則需支付門票費為990元,那么這兩個部門的人數(shù)之差為( )

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為培養(yǎng)學生的閱讀習慣,某校開展了為期一年的“弘揚傳統(tǒng)文化,閱讀經(jīng)典名著”活動. 活動后,為了解閱讀情況,學校統(tǒng)計了甲、乙兩組各10名學生的閱讀量(單位:本),統(tǒng)計結(jié)果用莖葉圖記錄如下,乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊,無法確認,在圖中以a表示.

(Ⅰ)若甲組閱讀量的平均值大于乙組閱讀量的平均值,求圖中a的所有可能取值;

(Ⅱ)將甲、乙兩組中閱讀量超過15本的學生稱為“閱讀達人”. 設(shè),現(xiàn)從所有的“閱讀達人”里任取2人,求至少有1人來自甲組的概率;

(Ⅲ)記甲組閱讀量的方差為. 若在甲組中增加一個閱讀量為10的學生,并記新得到的甲組閱讀量的方差為,試比較,的大小.(結(jié)論不要求證明)

(注:,其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù))

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

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(1)若恒成立,求處的切線方程;

(2)若有且只有兩個整數(shù)解,求的取值范圍.

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