【題目】如圖:在四棱錐中,平面.,,.點是與的交點,點在線段上且.
(1)證明:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值;
(3)求二面角的正切值.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3).
【解析】
(1)推導出,在正三角形中,,從而.
進而,由此能證明平面;
(2)分別以為軸,軸,軸建立如圖的空間直角坐標系,求出與平面的法向量,進而利用向量的夾角公式可求出直線與平面所成角的正弦值;
(3)求出面與面的法向量,進而利用向量的夾角公式可求出二面角的平面角的余弦值,再轉(zhuǎn)化為正切值即可.
證明:(1)∵在四棱錐中,平面.,
,.點是與的交點,
,
∴在正三角形中,,
在中,∵是中點,,
,又,
,
,
∵點在線段上且,
,
平面,平面,
∴平面.
(2),
分別以為軸,軸,軸建立如圖的空間直角坐標系,
,
,
,
設(shè)平面的法向量,
則,取,得,
,
設(shè)直線與平面所成角為,
則,
故直線與平面所成角的正弦值為;
(3)由(2)可知,為平面的法向量,
,
設(shè)平面的法向量為,
則,即,
令,解得,
設(shè)二面角的平面角為,則,
故二面角的正切值為.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù), ).以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線上一點的極坐標為,曲線的極坐標方程為.
(Ⅰ)求曲線的極坐標方程;
(Ⅱ)設(shè)點在上,點在上(異于極點),若四點依次在同一條直線上,且成等比數(shù)列,求 的極坐標方程.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),且),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線的極坐標方程為.
(1)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,并將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程;
(2)求曲線與曲線交點的極坐標.
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【題目】在直角坐標系中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C:ρsin2θ=2acos θ(a>0),過點P(-2,-4)的直線l: (t為參數(shù))與曲線C相交于M,N兩點.
(1)求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求實數(shù)a的值.
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【題目】如圖是一個半圓形湖面景點的平面示意圖.已知為直徑,且km,為圓心,為圓周上靠近的一點,為圓周上靠近的一點,且∥.現(xiàn)在準備從經(jīng)過到建造一條觀光路線,其中到是圓弧,到是線段.設(shè),觀光路線總長為.
(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并指出該函數(shù)的定義域;
(2)求觀光路線總長的最大值.
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【題目】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需要,兩種原料,已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示.如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲得利潤分別為3萬元、4萬元,則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為( 。
甲 | 乙 | 原料限額 | |
(噸) | 3 | 2 | 10 |
(噸) | 1 | 2 | 6 |
A. 10萬元B. 12萬元C. 13萬元D. 14萬元
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【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若將判斷框內(nèi)“”改為關(guān)于的不等式“”且要求輸出的結(jié)果不變,則正整數(shù)的取值是
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
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【題目】甲商店某種商品4月份(30天,4月1日為第一天)的銷售價格P(元)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系如圖所示(1),該商品日銷售量Q(件)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系如圖(2)所示.
(1)(2)
(1)寫出圖(1)表示的銷售價格與時間的函數(shù)關(guān)系式,寫出圖(2)表示的日銷售量與時間的函數(shù)關(guān)系式及日銷售金額M(元)與時間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)乙商店銷售同一種商品,在4月份采用另一種銷售策略,日銷售金額N(元)與時間t(天)之間的函數(shù)關(guān)系式為,試比較4月份每天兩商店銷售金額的大小關(guān)系。
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【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的最大值和最小值,并求取得最大值和最小值時對應(yīng)的的值;
(2)設(shè)方程在區(qū)間內(nèi)有兩個相異的實數(shù)根求的值;
(3)如果對于區(qū)間上的任意一個都有成立,求實數(shù)的取值范圍.
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