Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）設(shè)函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.（其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）利用曲線在某一點(diǎn)處切線方程的求法可直接求得結(jié)果；

（2）由可將問題轉(zhuǎn)化為在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，滿足題意；當(dāng)時(shí)，求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，分別在，兩種情況下，討論函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)最值確定是否有零點(diǎn)，從而求得的取值范圍.

（1），切點(diǎn)坐標(biāo)為，

，，切線方程為：.

（2），是在上的唯一零點(diǎn)，

在上無(wú)零點(diǎn).

，

①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，

，滿足題意；

②當(dāng)時(shí)，令，解得：，

⑴當(dāng)，即時(shí)，

若，則；若，則，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又，

當(dāng)，即時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)，滿足題意；

當(dāng)，即時(shí)，在上有零點(diǎn)，不合題意；

⑵當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，

，滿足題意；

綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.