【題目】如圖,平面ABCD,四邊形ABCD是正方形,PA=AD=2,點E、F、G分別為線段PA、PD和CD的中點.
(1)求異面直線EG與BD所成角的大;
(2)在線段CD上是否存在一點Q,使得點A到平面EFQ的距離恰為?若存在,求出線段CQ的長;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)線段CQ的長度為 .
【解析】
(1)以點A為坐標原點,射線AB,AD,AZ分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建系如圖示,寫出點E(0,0,1)、G(1,2,0)、B(2,0,0)、D(0,2,0),和向量 ,的坐標,利用異面直線EG與BD所成角公式求出異面直線EG與BD所成角大小即可;
(2)對于存在性問題,可先假設存在,即先假設在線段CD上存在一點Q滿足條件,設點Q(x0,2,0),平面EFQ的法向量為 ,再點A到平面EFQ的距離,求出x0,若出現矛盾,則說明假設不成立,即不存在;否則存在.
解:(1)以點A為坐標原點,射線AB,AD,AZ分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系如圖示,點E(0,0,1)、G(1,2,0)、B(2,0,0)、D(0,2,0),
則 ,.
設異面直線EG與BD所成角為θ,
所以異面直
線EG與BD所成角大小為 .
(2)假設在線段CD上存在一點Q滿足條件,
設點Q(x0,2,0),平面EFQ的法向量為 ,
則有 得到y=0,z=xx0,取x=1,
所以 ,
則 ,
又x0>0,解得 ,
所以點 即 ,
則 .
所以在線段CD上存在一點Q滿足條件,且線段CQ的長度為 .
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某籃球運動員每次在罰球線投籃投進的概率是0.8,且各次投籃的結果互不影響.
(1)假設這名運動員投籃3次,求恰有2次投進的概率(結果用分數表示);
(2)假設這名運動員投籃3次,每次投進得1分,未投進得0分;在3次投籃中,若有2次連續(xù)投進,而另外一次未投進,則額外加1分;若3次全投進,則額外加3分,記為該籃球運動員投籃3次后的總分數,求的分布列及數學期望(結果用分數表示).
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】連續(xù)擲3枚硬幣,觀察落地后這3枚硬幣出現正面還是反面.(與先后順序有關)
(1)寫出這個試驗的樣本空間及樣本點的個數;
(2)寫出事件“恰有兩枚正面向上”的集合表示.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】中國大學先修課程,是在高中開設的具有大學水平的課程,旨在讓學有余力的高中生早接受大學思維方式、學習方法的訓練,為大學學習乃至未來的職業(yè)生涯做好準備,某高中每年招收學生1000人,開設大學先修課程已有兩年,共有300人參與學習先修課程,兩年全校共有優(yōu)等生200人,學習先修課程的優(yōu)等生有50人,這兩年學習先修課程的學生都參加了考試,并且都參加了某高校的自主招生考試(滿分100分),結果如下表所示:
(1)填寫列聯表,并畫出列聯表的等高條形圖,并通過圖形判斷學習先修課程與優(yōu)等生是否有關系,根據列聯表的獨立性體驗,能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為學習先修課程與優(yōu)等生有關系?
(2)已知今年有150名學生報名學習大學先修課程,以前兩年參加大學先修課程學習成績的頻率作為今年參加大學先修課程學習成績的概率.
①在今年參與大學先修課程的學生中任取一人,求他獲得某高校自主招生通過的概率;
②某班有4名學生參加了大學先修課程的學習,設獲得某高校自主招生通過的人數為,求的分布列,并求今年全校參加大學先修課程的學生獲得大學自主招生通過的人數.
參考數據:
參考公式: ,期中,
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
在直角坐標系中,圓的參數方程為(為參數),圓與圓外切于原點,且兩圓圓心的距離,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求圓和圓的極坐標方程;
(2)過點的直線、與圓異于點的交點分別為點和點,與圓異于點的交點分別為點和點,且.求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】選修4—4:極坐標與參數方程
在平面直角坐標系中,將曲線 (為參數) 上任意一點經過伸縮變換后得到曲線的圖形.以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標系,已知直線.
(Ⅰ)求曲線和直線的普通方程;
(Ⅱ)點P為曲線上的任意一點,求點P到直線的距離的最大值及取得最大值時點P的坐標.
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