Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).

（1）已知函數(shù)是奇函數(shù)，直線是曲線的切線，且， ，求直線的方程；

（2）討論的單調(diào)性.

Answer 1

【答案】(1) 6x+3y﹣1=0或2x+y+5=0 (2)見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函數(shù)可求出a的值，然后根據(jù)l1⊥l2可求出l1的斜率，從而可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線方程；

（2）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，本題需討論a與﹣和0的大小關(guān)系．

試題解析：

解：（1）∵，

∴f′（x）=ax2﹣x﹣（a+1）

則g（x）=f（x）﹣f′（x）=﹣ax2+x+（a+1）=

∵函數(shù)g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函數(shù)∴+a=0即a=﹣則f′（x）=﹣x2﹣x﹣

∵l1⊥l2，l2：x﹣2y﹣8=0

∴l(xiāng)1的斜率為﹣2，即f′（x）=﹣x2﹣x﹣=﹣2解得x=1或﹣3

即切點(diǎn)為（1，﹣）或（﹣3，1）

∴直線l1的方程為6x+3y﹣1=0或2x+y+5=0

（2）f′（x）=ax2﹣x﹣（a+1）=（ax﹣a﹣1）（x+1）

當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=﹣x﹣1，當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（﹣1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，﹣1），單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣1，+∞）

當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（﹣1，1+）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1+，+∞）時(shí)，f′（x）＞0

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，﹣1），（1+，+∞）單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣1，1+）

當(dāng)﹣＜a＜0時(shí)，當(dāng)x∈（﹣∞，1+）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1+，﹣1）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（﹣1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1+，﹣1）單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，1+），（﹣1，+∞）

當(dāng)a=﹣時(shí)，f′（x）≤0恒成立，即函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，+∞）

當(dāng)a＜﹣時(shí)，當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（﹣1，1+）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（1+，+∞）時(shí)，f′（x）＜0

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣1，1+）單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，﹣1），（1+，+∞）