Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2+ +5（常數(shù)a，b∈R）滿足f（1）+f（﹣1）=14．
（1）求出a的值，并就常數(shù)b的不同取值討論函數(shù)f（x）奇偶性；
（2）若f（x）在區(qū)間（﹣∞，﹣ ）上單調(diào)遞減，求b的最小值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)b取最小值時(shí)，證明：f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)q且存在遞增的正整數(shù)數(shù)列{an}，使得 =q +q +q +…+q +…成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（1）+f（﹣1）=14得（a+b+5）+（a﹣b+5）=14，所以解得a=2；

所以f（x）= ，定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞）；

當(dāng)b=0時(shí)，對于定義域內(nèi)的任意x，有f（﹣x）=f（x）=2x2+5，所以f（x）為偶函數(shù)．

當(dāng)b≠0時(shí)，f（1）+f（﹣1）=14≠0，所以f（﹣1）≠﹣f（1），所以f（x）不是奇函數(shù)；f（﹣1）﹣f（1）=﹣2b≠0，所以f（x）不是偶函數(shù)；

所以，b=0時(shí)f（x）為偶函數(shù)，b≠0時(shí)，f（x）為非奇非偶函數(shù)

（2）解：f′（x）= = =0，解得x= ，所以x∈（﹣∞， ）時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞， ）上單調(diào)遞減，又f（x）在（﹣∞，﹣ ）上單調(diào)遞減，所以 ，解得 b≥﹣2，所以b的最小值是﹣2
（3）解：在（2）的條件下，f（x）= ；

當(dāng) x＜0時(shí)，f（x）＞0恒成立，函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）上無零點(diǎn)；

當(dāng) x＞0時(shí)，f′（x）= ＞0，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞增，又f（ ）= ＜0，f（1）=5＞0；

∴f（x）在（ ，1）上有一個(gè)零點(diǎn)q，即q∈ ，且f（q）=2 =0，整理成 ，所以 ；

又 +…，所以 +…，且an=3n﹣2

【解析】（1）根據(jù)條件很容易求出a，討論奇偶性根據(jù)定義即可，注意對于非奇非偶的，要舉出反例．（2）利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，再與所給單調(diào)區(qū)間比較即可求b的最小值．（3）說f（x）有一個(gè)零點(diǎn)，所以我們先來找f（x）的零點(diǎn)，找到之后再看怎樣讓它滿足所給等式即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．