【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的周期為π,圖象的一個對稱中心為( ,0),將函數(shù)f(x)圖象上的所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將所得圖象向右平移0.5π個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象;
(1)求函數(shù)f(x)與g(x)的解析式;
(2)當(dāng)a≥1,求實數(shù)a與正整數(shù)n,使F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)恰有2019個零點.
【答案】
(1)解:∵函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的周期為π,
∴ω= =2,
又曲線y=f(x)的一個對稱中心為( ,0),φ∈(0,π),
故f( )=sin(2× +φ)=0,得φ= ,所以f(x)=cos2x.
將函數(shù)f(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)后可得y=cosx的圖象,
再將y=cosx的圖象向右平移0.5π個單位長度后得到函數(shù)g(x)=cos(x﹣0.5π)的圖象,
∴g(x)=sinx
(2)解:∵φ(x)=asinx+cos2x=0(∵sinx≠0),
a=﹣ m(x),可得m(x)= =2sinx﹣ ,m′(x)=2cosx+ = ,
令m′(x)=0得x= , ,
∴m(x)在(0, )上單調(diào)遞增,( ,π)與(π, )上單調(diào)遞減,( ,2π)上單調(diào)遞增,
當(dāng)a>1時,m(x)=a在(0,2π)有2解;
則a=1時,m(x)=a在(0,π)∪(π,2π)有3解,
而2019÷3=673,所以n=673×2=1346,
∴存在a=1,n=1346時,φ(x)有2019個零點
【解析】(1)依題意,可求得ω=2,φ= ,利用三角函數(shù)的圖象變換可求得g(x)=sinx;(2)由于φ(x)=asinx+cos2x=0(sinx≠0),a=﹣ m(x),可得m(x)= =2sinx﹣ ,m′(x)=2cosx+ = ,令m′(x)=0得x= , ,可得m(x)在(0, )上單調(diào)遞增,( ,π)與(π, )上單調(diào)遞減,( ,2π)上單調(diào)遞增,分析可知a=±1時,m(x)=a在(0,π)∪(π,2π)有3解,
而2019÷3=673,得n=673*2=1346,從而存在a=1,n=1346或a=﹣1,n=1346時,φ(x)有2019個零點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= sin ,若存在f(x)的極值點x0滿足x02+[f(x0)]2<m2 , 則m的取值范圍是( )
A.(﹣∞,﹣6)∪(6,+∞)
B.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞)
C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)
D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),分別為具有公共焦點與的橢圓和雙曲線的離心率,為兩曲線的一個公共點,且滿
足,則的值為 ( )
A. B. 1 C. 2 D. 不確定
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【題目】若定義在[﹣m,m](m>0)上的函數(shù)f(x)= +xcosx(a>0,a≠1)的最大值和最小值分別是M、N,則M+N=
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【題目】動物園需要用籬笆圍成兩個面積均為50 的長方形熊貓居室,如圖所示,以墻為一邊(墻不需要籬笆),并共用垂直于墻的一條邊,為了保證活動空間,垂直于墻的邊長不小于2m,每個長方形平行于墻的邊長也不小于2m.
(1)設(shè)所用籬笆的總長度為l,垂直于墻的邊長為x.試用解析式將l表示成x的函數(shù),并確定這個函數(shù)的定義域;
(2)怎樣圍才能使得所用籬笆的總長度最?籬笆的總長度最小是多少?
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+ +5(常數(shù)a,b∈R)滿足f(1)+f(﹣1)=14.
(1)求出a的值,并就常數(shù)b的不同取值討論函數(shù)f(x)奇偶性;
(2)若f(x)在區(qū)間(﹣∞,﹣ )上單調(diào)遞減,求b的最小值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)b取最小值時,證明:f(x)恰有一個零點q且存在遞增的正整數(shù)數(shù)列{an},使得 =q +q +q +…+q +…成立.
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【題目】已知{an}為等比數(shù)列,a4+a7=2,a5a6=-8,則a1+a10=( )
A. 7 B. 5
C. -5 D. -7
【答案】D
【解析】由解得或
∴或,∴a1+a10=a1(1+q9)=-7.選D.
點睛:在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時,有兩個處理思路,一是利用基本量,將多元問題簡化為一元問題,雖有一定量的運算,但思路簡潔,目標(biāo)明確;二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì),性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn),是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具,應(yīng)有意識地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件,有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形. 在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時,經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運算量”的方法.
【題型】單選題
【結(jié)束】
8
【題目】在數(shù)列{ }中,已知,,,則等于( )
A. B. C. D.
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【題目】已知直線平面,直線平面,有以下四個命題:( )
①;②;③;④;
其中正確命題的序號為
A. ②④ B. ③④ C. ①③ D. ①④
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