【題目】如圖,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,AD與平面BCD所成的角為30°,且AB=BC=2;
(1)求三棱錐A﹣BCD的體積;
(2)設M為BD的中點,求異面直線AD與CM所成角的大。ńY果用反三角函數(shù)值表示).

【答案】
(1)解:如圖,因為AB⊥平面BCD,

所以AB⊥CD,又BC⊥CD,所以CD⊥平面ABC,

因為AB⊥平面BCD,AD與平面BCD所成的角為30°,故∠ADB=30°,

由AB=BC=2,得AD=4,AC=2 ,

∴BD= =2 ,CD= =2 ,

則VABCD= = =

=


(2)解:以C為原點,CD為x軸,CB為y軸,過C作平面BCD的垂線為z軸,

建立空間直角坐標系,

則A(0,2,2),D(2 ,0,0),C(0,0,0),B(0,2,0),M( ),

=(2 ,﹣2,﹣2), =( ),

設異面直線AD與CM所成角為θ,

則cosθ= = =

θ=arccos

∴異面直線AD與CM所成角的大小為arccos


【解析】(1)由AB⊥平面BCD,得CD⊥平面ABC,由此能求出三棱錐A﹣BCD的體積.(2)以C為原點,CD為x軸,CB為y軸,過C作平面BCD的垂線為z軸,建立空間直角坐標系,由此能求出異面直線AD與CM所成角的大小.
【考點精析】認真審題,首先需要了解異面直線及其所成的角(異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點,作另一條的平行線;2、補形法:把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關系).

練習冊系列答案
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第一組:

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A.(1,
B.( ,
C.(
D.( ,

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A.
B.
C.
D.

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