Question

【題目】對于函數(shù)，如果存在實數(shù)使得，那么稱為的線性函數(shù).

（1）下面給出兩組函數(shù)，判斷是否分別為的線性函數(shù)？并說明理由；

第一組：

第二組:：

（2）設(shè)，線性函數(shù)為.若等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，取.線性函數(shù)圖像的最低點為.若對于任意正實數(shù)且.試問是否存在最大的常數(shù)，使恒成立？如果存在，求出這個的值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）第一組是，第二組不是，理由見解析；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）將三個函數(shù)的表達(dá)式代入，求出，的值；類似方法無法求出，的值；

（2）由已知得，從而在上有解，利用參變分離得，求出函數(shù)的值域，即為實數(shù)的取值范圍，從而得到的取值范圍；

（3）由題意得，，從而，，假設(shè)存在最大的常數(shù)，使恒成立，設(shè)，從而轉(zhuǎn)化為求的最小值即可．

（1）第一組：

，

解得：，所以，

第一組函數(shù)是，的生成函數(shù)．

第二組：設(shè)，

即，

則，該方程組無解．

不是，的生成函數(shù)．

（2）；，，生成函數(shù)，

，

在上有解，

在上有解，

，，

。

實數(shù)的取值范圍是．

（3）由題意得，，，則，

故，解得，，，

假設(shè)存在最大的常數(shù)，使恒成立．

于是設(shè)

，

設(shè)，又，則，即，

設(shè)，，

，，在上單調(diào)遞減，從而．

故存在最大的常數(shù)．