【題目】對于函數(shù),如果存在實數(shù)使得,那么稱的線性函數(shù).

1)下面給出兩組函數(shù),判斷是否分別為的線性函數(shù)?并說明理由;

第一組:

第二組:

2)設(shè),線性函數(shù)為.若等式上有解,求實數(shù)的取值范圍;

3)設(shè),取.線性函數(shù)圖像的最低點為.若對于任意正實數(shù).試問是否存在最大的常數(shù),使恒成立?如果存在,求出這個的值;如果不存在,請說明理由.

【答案】1)第一組是,第二組不是,理由見解析;(2;(3)存在,.

【解析】

1)將三個函數(shù)的表達式代入,求出的值;類似方法無法求出,的值;

2)由已知得,從而上有解,利用參變分離得,求出函數(shù)的值域,即為實數(shù)的取值范圍,從而得到的取值范圍;

3)由題意得,,從而,,假設(shè)存在最大的常數(shù),使恒成立,設(shè),從而轉(zhuǎn)化為求的最小值即可.

1)第一組:

,

解得:,所以,

第一組函數(shù)的生成函數(shù).

第二組:設(shè),

,

,該方程組無解.

不是,的生成函數(shù).

2;,生成函數(shù),

,

上有解,

上有解,

,,

。

實數(shù)的取值范圍是

3)由題意得,,則,

,解得,,

假設(shè)存在最大的常數(shù),使恒成立.

于是設(shè)

設(shè),又,則,即

設(shè),,

,,上單調(diào)遞減,從而

故存在最大的常數(shù)

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