直線l:(m+1)x+2y-4m-4=0(m∈R)恒過定點(diǎn)C,圓C是以點(diǎn)C為圓心,以4為半徑的圓.
(1)求圓C的方程;
(2)設(shè)圓M的方程為(x-4-7cosθ)2+(y-7sinθ)2=1,過點(diǎn)M上任意一點(diǎn)P分別作圓C的兩條切線PE、PF,切點(diǎn)為E、F,求
CE
CF
的最大值和最小值.
分析:(1)先求直線系過的定點(diǎn),可求圓的方程.
(2)設(shè)出∠ECF,求數(shù)量積的表達(dá)式,然后求PC的范圍,結(jié)合數(shù)量積,求其最值.
解答:解:(1)直線l:(m+1)x+2y-4m-4=0(m∈R)恒過定點(diǎn)C(4,0),半徑為4,圓C的方程:(x-4)2+y2=16.
(2)設(shè)∠ECF=2α
CE
CF
=|
CE
||
CF
|  COS2α
=16COS2α=32cos2α-16,
在 Rt△PCE中,cosα=
r
|PC|
=
4
|PC|

由圓的幾何性質(zhì)得|MC|-1≤|PC|≤|MC|+1,
∴6≤|PC|≤8
1
2
≤cosα≤
2
3
,由此可得-8
CE
CF
≤ -
16
9
,
CE
CF
的最大值為-
16
9
最小值為-8.
點(diǎn)評(píng):本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線系過定點(diǎn),考查轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,是難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C1:x2+y2-2x-4y-13=0與圓C2:x2+y2-2ax-6y+a2+1=0(其中a>0)相外切,且直線l:(m+1)x+y-7m-7=0與圓C2相切,求m的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C:(x-1)2+(y+2)2=9,直線l:(m+1)x-y-2m-3=0(m∈R)
(1)求證:無論m取什么實(shí)數(shù),直線恒與圓交于兩點(diǎn);
(2)求直線l被圓C所截得的弦長最小時(shí)的直線方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

不論m取何實(shí)數(shù),直線l:(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒過定點(diǎn)
(9,-4)
(9,-4)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

直線l:(m+1)x+2y-2m-2=0(m∈R)恒過定點(diǎn)C,以C為圓疏,2為半徑作圓C,
(1)求圓C方程;
(2)設(shè)點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C1,動(dòng)點(diǎn)M在曲線E上,在△MCC'中,滿足∠C1MC=2θ,△MCC'的面積為4tanθ,求曲線E的方程;
(3)點(diǎn)P在(2)中的曲線E上,過點(diǎn)P做圓C的兩條切線,切點(diǎn)為Q、R,求
PQ•
PR
的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

不論m取任何實(shí)數(shù),直線l:(m-1)x-y+2m+1=0恒過一定點(diǎn),則該定點(diǎn)的坐標(biāo)是( 。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案