Question

直線l：（m+1）x+2y-2m-2=0（m∈R）恒過定點C，以C為圓疏，2為半徑作圓C，
（1）求圓C方程；
（2）設(shè)點C關(guān)于y軸的對稱點為C¹，動點M在曲線E上，在△MCC'中，滿足∠C¹MC=2θ，△MCC'的面積為4tanθ，求曲線E的方程；
（3）點P在（2）中的曲線E上，過點P做圓C的兩條切線，切點為Q、R，求

PQ•

PR

的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)C（x，y），則（m+1）x+2y-2m-2=m（x-2）+x+2y-2=0（m∈R）恒成立，所以C（2，0）．由此能求出圓C的方程．
（2）由題可知C'（-2，0），|CC'|=4，∠C'MC=2θ．在△MCC'中，設(shè)|MC'|=m，|MC|=n，由余弦定理可知m²+n²-2mncos2θ=16．因為

1

2

mnsin2θ=4tanθ，所以cos2θ=

4

mn

．由此能求出E的方程．
（3）設(shè)∠QPR=2a，則sina=

2

|PC|

PQ

•

PR

=|PQ|2cos2a=(|PC|2-4)(1-2×

4

|PC|2

)=|PC|2+

32

|PC|2

-12≥8

2

-12．由此能求出

PQ

•

PR

的最小值．

解答：解：（1）設(shè)C（x，y），則（m+1）x+2y-2m-2=m（x-2）+x+2y-2=0（m∈R）
恒成立所以x=2，y=0，
即C（2，0）…（2分）
所以圓C的方程為（x-2）²+y²=4…（3分）
（2）由題可知C'（-2，0），
|CC'|=4，∠C'MC=2θ
在△MCC'中，設(shè)|MC'|=m，|MC|=n
所以，由余弦定理可知m²+n²-2mncos2θ=16①…（4分）
又因為

1

2

mnsin2θ=4tanθ，
所以cos2θ=

4

mn

②…（5分）
由①②得m2+n2-2mn(2×

4

mn

-1)=16
整理得m+n=4

2

，即|MC′|+|MC|=4

2

＞4…（6分）
故點M在以C，C'為焦點的橢圓上
所以E的方程為

x2

8

+

y2

4

=1(y=0)…（8分）
注：不寫明（y=0）扣（1分）
（3）設(shè)∠QPR=2a，則sina=

2

|PC|

PQ

•

PR

=|PQ|2cos2a=(|PC|2-4)(1-2×

4

|PC|2

)…（10分）
=|PC|2+

32

|PC|2

-12≥8

2

-12
當(dāng)且僅當(dāng)|PC|=24

2

時等號成立，
又24

2

∈0，2+2

2

)
所以

PQ

•

PR

得最小值為8

2

-12…（12分）

點評：本題考查圓的方程和曲線方程的求法，求

PQ

•

PR

的最小值．解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，利用圓錐曲線的性質(zhì)，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．