【題目】如圖1,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC2,E為AD的中點(diǎn),O是AC與BE的交點(diǎn),將△ABE沿BE翻折到圖2中△A1BE的位置得到四棱錐A1﹣BCDE.
(1)求證:CD⊥A1C;
(2)若A1C,BE=2,求點(diǎn)C到平面A1ED的距離.
【答案】(1)見解析(2).
【解析】
(1)證明BE⊥AC,BE⊥平面OA1C ,得到CD⊥平面OA1C,得到答案.
(2)建立分別以OB,OC,OA1所在的方向?yàn)?/span>x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系,計(jì)算平面A1ED的法向量(1,,),計(jì)算得到答案.
(1)證明:如圖1,連接CE,∵AE∥BC,AE=BC,∴四邊形ABCE是平行四邊形.
∴AB∥CE,AB=CE.∴AB=BC=AE=CE=2,∴ABCE是菱形.∴BE⊥AC.
∴在圖2中,BE⊥OA1,BE⊥OC.∴BE⊥平面OA1C.
由題意,可知AE=ED=2,故ED=BC.
又∵ED∥BC,ED=BC.∴四邊形EBCD是平行四邊形.∴BE∥CD,
∴CD⊥平面OA1C.∴CD⊥A1C.
(2)在Rt△OAE中,AE=2,OE,則OA=1,故OC=OA=1.
在△OA1C中,OC=OA1=1.A1C,則OC2+OA12=A1C2,
∴△OA1C是等腰直角三角形.
∴OA1⊥OC,∵BE⊥平面OA1C.∴OA1⊥BE,∴OA1⊥平面BCDE.
如圖2,建立分別以OB,OC,OA1所在的方向?yàn)?/span>x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系,
則A1(0,0,1),E(,0,0),D(﹣2,1,0),C(0,1,0).
設(shè)平面A1ED的法向量(1,x,y),
∵(,0,﹣1),(﹣2,1,﹣1),
∴,即,解得.
∴(1,,).
∵(0,1,﹣1).
∴點(diǎn)C到平面A1ED的距離d.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】A4紙是生活中最常用的紙規(guī)格.A系列的紙張規(guī)格特色在于:①A0、A1、A2…、A5,所有尺寸的紙張長寬比都相同.②在A系列紙中,前一個(gè)序號(hào)的紙張以兩條長邊中點(diǎn)連線為折線對(duì)折裁剪分開后,可以得到兩張后面序號(hào)大小的紙,比如1張A0紙對(duì)裁后可以得到2張A1紙,1張A1紙對(duì)裁可以得到2張A2紙,依此類推.這是因?yàn)?/span>A系列紙張的長寬比為:1這一特殊比例,所以具備這種特性.已知A0紙規(guī)格為84.1厘米×118.9厘米.118.9÷84.1≈1.41≈,那么A4紙的長度為( 。
A.厘米B.厘米C.厘米D.厘米
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線交橢圓于、兩點(diǎn),且線段的中點(diǎn)為,直線與橢圓交于、兩點(diǎn)
(1)求直線與直線斜率的乘積;
(2)若,求直線的方程.
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【題目】《九章算術(shù)》的盈不足章第19個(gè)問題中提到:“今有良馬與駑馬發(fā)長安,至齊.齊去長安三千里.良馬初日行一百九十三里,日增一十三里.駑馬初日行九十七里,日減半里…”其大意為:“現(xiàn)在有良馬和駑馬同時(shí)從長安出發(fā)到齊去.已知長安和齊的距離是3000里.良馬第一天行193里,之后每天比前一天多行13里.駑馬第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里…”試問前4天,良馬和駑馬共走過的路程之和的里數(shù)為( 。
A.1235B.1800C.2600D.3000
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【題目】分別為菱形的邊的中點(diǎn),將菱形沿對(duì)角線折起,使點(diǎn)不在平面內(nèi),則在翻折過程中,以下命題正確的是___________.(寫出所有正確命題的序號(hào))
①平面;②異面直線與所成的角為定值;③在二面角逐漸漸變小的過程中,三棱錐的外接球半徑先變小后變大;④若存在某個(gè)位程,使得直線與直線垂直,則的取值范圍是.
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【題目】如圖,在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中,已知底面ABCD是菱形,點(diǎn)P是側(cè)棱C1C的中點(diǎn).
(1)求證:AC1∥平面PBD;
(2)求證:BD⊥A1P.
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【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是,若不等式對(duì)于任意的實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù),是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為(0,1)
(1)求拋物線C的方程;
(2)設(shè)直線l2:y=kx+m與拋物線C有唯一公共點(diǎn)P,且與直線l1:y=﹣1相交于點(diǎn)Q,試問,在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)N?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
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【題目】已知某民族品牌手機(jī)生產(chǎn)商為迎合市場(chǎng)需求,每年都會(huì)研發(fā)推出一款新型號(hào)手機(jī).該公司現(xiàn)研發(fā)了一款新型智能手機(jī)并投入生產(chǎn),生產(chǎn)這款手機(jī)的月固定成本為80萬元,每生產(chǎn)1千臺(tái),須另投入27萬元, 設(shè)該公司每月生產(chǎn)千臺(tái)并能全部銷售完,每1千臺(tái)的銷售收入為萬元,且.為更好推廣該產(chǎn)品,手機(jī)生產(chǎn)商每月還支付各類廣告費(fèi)用20萬元.
(Ⅰ)寫出月利潤(萬元)關(guān)于月產(chǎn)量(千臺(tái))的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)當(dāng)月產(chǎn)量為多少千臺(tái)時(shí),該公司在這一型號(hào)的手機(jī)生產(chǎn)中所獲月利潤最大?
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