【題目】如圖所示,在四棱錐中,平面平面,底面是正方形,且, .
(Ⅰ)證明:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ).
【解析】試題分析:
(Ⅰ)利用面面垂直的性質定理可得平面.據(jù)此有,結合可得平面.最后利用面面垂直的判定定理可得平面平面.
(Ⅱ)取的中點為, 的中點為,連接,以的方向分別為軸, 軸, 軸的正方向建立空間直角坐標系,據(jù)此可得平面的一個法向量為,平面的一個法向量為,據(jù)此計算可得二面角的余弦值為.
法2:若以為原點,建立空間直角坐標,則面的法向量面的法向量,計算可得為鈍角,則余弦值為.
試題解析:
(Ⅰ)證明:∵底面為正方形,∴.
又∵平面平面,∴平面.
又∵平面,∴.
∵, ,∴平面.
∵平面,∴平面平面.
(Ⅱ)取的中點為, 的中點為,連接
易得底面,
以為原點,以的方向分別為軸, 軸, 軸的正方向建立空間直角坐標系,如圖,不妨設正方形的邊長為2,可得, , ,
設平面的一個法向量為
而,
即
取得
設平面的一個法向量為
而,
則即取得
由圖知所求二面角為鈍角
故二面角的余弦值為.
法2:若以為原點,建立空間直角坐標,如圖,
不妨設正方形的邊長為2
可得面的法向量
面的法向量
由圖可得為鈍角
∴余弦值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓E: (a﹥b﹥0)的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點,點在橢圓E上.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設不過原點O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點A,B,線段AB的中點為M,直線OM與橢圓E交于C,D,證明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的焦點的坐標為, 的坐標為,且經過點, 軸.
(1)求橢圓的方程;
(2)設過的直線與橢圓交于兩不同點,在橢圓上是否存在一點,使四邊形為平行四邊形?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
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【題目】已知函數(shù).
(I)求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)求證:存在唯一的,使得曲線在點處的切線的斜率為;
(Ⅲ)比較與的大小,并加以證明.
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【題目】已知等比數(shù)列中, , 成等差數(shù)列;數(shù)列中的前項和為, .
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求數(shù)列的前項和.
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【題目】某市教育局對該市普通高中學生進行學業(yè)水平測試,試卷滿分120分,現(xiàn)從全市學生中隨機抽查了10名學生的成績,其莖葉圖如下圖所示:
(1)已知10名學生的平均成績?yōu)?8,計算其中位數(shù)和方差;
(2)已知全市學生學習成績分布服從正態(tài)分布,某校實驗班學生30人.
①依據(jù)(1)的結果,試估計該班學業(yè)水平測試成績在的學生人數(shù)(結果四舍五入取整數(shù));
②為參加學校舉行的數(shù)學知識競賽,該班決定推薦成績在的學生參加預選賽若每個學生通過預選賽的概率為,用隨機變量表示通過預選賽的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望.
正態(tài)分布參考數(shù)據(jù):
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【題目】在小明的婚禮上,為了活躍氣氛,主持人邀請10位客人做一個游戲.第一輪游戲中,主持人將標有數(shù)字1,2,…,10的十張相同的卡片放入一個不透明箱子中,讓客人依次去摸,摸到數(shù)字6,7,…,10的客人留下,其余的淘汰,第二輪放入1,2,…,5五張卡片,讓留下的客人依次去摸,摸到數(shù)字3,4,5的客人留下,第三輪放入1,2,3三張卡片,讓留下的客人依次去摸,摸到數(shù)字2,3的客人留下,同樣第四輪淘汰一位,最后留下的客人獲得小明準備的禮物.已知客人甲參加了該游戲.
(1)求甲拿到禮物的概率;
(2)設表示甲參加游戲的輪數(shù),求的概率分布和數(shù)學期望.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中,圓的圓心坐標為,半徑為2.以極點為原點,極軸為的正半軸,取相同的長度單位建立平面直角坐標系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求圓的極坐標方程;
(2)設與圓的交點為, 與軸的交點為,求.
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【題目】已知橢圓()的左、右焦點分別為、,設點,在中, ,周長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設不經過點的直線與橢圓相交于、兩點,若直線與的斜率之和為,求證:直線過定點,并求出該定點的坐標;
(3)記第(2)問所求的定點為,點為橢圓上的一個動點,試根據(jù)面積的不同取值范圍,討論存在的個數(shù),并說明理由.
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