【題目】一種擲骰子走跳棋的游戲:棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、、第100站,共101站,設(shè)棋子跳到第n站的概率為,一枚棋子開始在第0站,棋手每擲一次骰子,棋子向前跳動一次.若擲出奇數(shù)點(diǎn),棋子向前跳一站;若擲出偶數(shù)點(diǎn),棋子向前跳兩站,直到棋子跳到第99(獲勝)或第100(失敗)時,游戲結(jié)束(骰子是用一種均勻材料做成的立方體形狀的游戲玩具,它的六個面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,23,45,6)

(1),,并根據(jù)棋子跳到第n站的情況,試用表示;

(2)求證:為等比數(shù)列;

(3)求玩該游戲獲勝的概率.

【答案】(1),,;(2)證明見解析;(3).

【解析】

(1) 在第0站是必然事件,所以.棋子跳到第1站,只有一種情形,第一次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn),可求出,棋子跳到第2站,包括兩種情形,①第一次擲骰子岀現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn),②前兩次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn),可求出.棋子跳到第站,包括兩種情形,①棋子先跳到第站,又?jǐn)S骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn), ②棋子先跳到第站,又?jǐn)S骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn),進(jìn)行求解.
(2)(1)知,,所以可證.
(3) 該游戲獲勝的概率,即求,由(2)用累加法可求解.

(1)棋子開始在第0站是必然事件,所以

棋子跳到第1站,只有一種情形,第一次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn),其概率為,所以

棋子跳到第2站,包括兩種情形,①第一次擲骰子岀現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn),其概率為;②前兩次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn),其概率為,所以

棋子跳到第站,包括兩種情形,①棋子先跳到第站,又?jǐn)S骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn),其概率為;②棋子先跳到第站,又?jǐn)S骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn),其概率為

(2)(1)知,,所以

又因?yàn)?/span>

所以是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.

(3)(2)知,

所以

所以玩該游戲獲勝的概率為

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某地有種特產(chǎn)水果很受當(dāng)?shù)乩习傩諝g迎,但該種水果只能在9月份銷售,且該種水果只能當(dāng)天食用口感最好,隔天食用口感較差。某超市每年9月份都銷售該特產(chǎn)水果,每天計(jì)劃進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每公斤8元,銷售價每公斤12元;當(dāng)天未賣出的水果則轉(zhuǎn)賣給水果罐頭廠,但每公斤只能賣到5元。根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)?shù)貧鉁胤秶幸欢P(guān)系。如果氣溫不低于30度,需求量為5000公斤;如果氣溫位于,需求量為3500公斤;如果氣溫低于25度,需求量為2000公斤;為了制定今年9月份訂購計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年9月份的氣溫范圍數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表

氣溫范圍

天數(shù)

4

14

36

21

15

以氣溫范圍位于各區(qū)間的頻率代替氣溫范圍位于該區(qū)間的概率.

1)求今年9月份這種水果一天需求量(單位:公斤)的分布列和數(shù)學(xué)期望;

2)設(shè)9月份一天銷售特產(chǎn)水果的利潤為(單位:元),當(dāng)9月份這種水果一天的進(jìn)貨量為(單位:公斤)為多少時,的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值,最大值為多少?

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【題目】在創(chuàng)建全國文明城市過程中,銀川市創(chuàng)城辦為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況,進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次)通過隨機(jī)抽樣,得到參加問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示:

組別

[3040)

[40,50)

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90100]

頻數(shù)

2

13

21

25

24

11

4

1)由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分ZN(μ,198),μ近似為這100人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點(diǎn)值作代表),

①求μ的值;

②利用該正態(tài)分布,求;

2)在(1)的條件下,創(chuàng)城辦為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案:

①得分不低于的可以獲贈2次隨機(jī)話費(fèi),得分低于的可以獲贈1次隨機(jī)話費(fèi);

②每次獲贈的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)的概率為:

贈送話費(fèi)的金額(單元:元)

20

50

概率

現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查,記(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費(fèi),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)與公式:.若,則,,

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2)設(shè)直線與軌跡交于兩點(diǎn),點(diǎn)為軌跡上異于的任意一點(diǎn),直線分別與直線交于兩點(diǎn).問:軸正半軸上是否存在定點(diǎn)使得以為直徑的圓過該定點(diǎn)?若存在,求出符合條件的定點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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B.14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是103

C.1011日到1014日,空氣質(zhì)量越來越好

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現(xiàn)在上述圖(3)中隨機(jī)選取一個點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為( )

A. B. C. D.

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(1)當(dāng)為何值時,點(diǎn)恰好在路面中線上?

(2)記圓心在路面上的射影為,且在線段上,求的最大值.

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