【題目】一種擲骰子走跳棋的游戲:棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、…、第100站,共101站,設(shè)棋子跳到第n站的概率為,一枚棋子開始在第0站,棋手每擲一次骰子,棋子向前跳動一次.若擲出奇數(shù)點(diǎn),棋子向前跳一站;若擲出偶數(shù)點(diǎn),棋子向前跳兩站,直到棋子跳到第99站(獲勝)或第100站(失敗)時,游戲結(jié)束(骰子是用一種均勻材料做成的立方體形狀的游戲玩具,它的六個面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6).
(1)求,,,并根據(jù)棋子跳到第n站的情況,試用和表示;
(2)求證:為等比數(shù)列;
(3)求玩該游戲獲勝的概率.
【答案】(1),,,;(2)證明見解析;(3).
【解析】
(1) 在第0站是必然事件,所以.棋子跳到第1站,只有一種情形,第一次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn),可求出,棋子跳到第2站,包括兩種情形,①第一次擲骰子岀現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn),②前兩次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn),可求出.棋子跳到第站,包括兩種情形,①棋子先跳到第站,又?jǐn)S骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn), ②棋子先跳到第站,又?jǐn)S骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn),進(jìn)行求解.
(2) 由(1)知,,所以可證.
(3) 該游戲獲勝的概率,即求,由(2)用累加法可求解.
(1)棋子開始在第0站是必然事件,所以.
棋子跳到第1站,只有一種情形,第一次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn),其概率為,所以.
棋子跳到第2站,包括兩種情形,①第一次擲骰子岀現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn),其概率為;②前兩次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn),其概率為,所以.
棋子跳到第站,包括兩種情形,①棋子先跳到第站,又?jǐn)S骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn),其概率為;②棋子先跳到第站,又?jǐn)S骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn),其概率為.
故.
(2)由(1)知,,所以.
又因?yàn)?/span>,
所以是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.
(3)由(2)知,.
所以
.
所以玩該游戲獲勝的概率為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地有種特產(chǎn)水果很受當(dāng)?shù)乩习傩諝g迎,但該種水果只能在9月份銷售,且該種水果只能當(dāng)天食用口感最好,隔天食用口感較差。某超市每年9月份都銷售該特產(chǎn)水果,每天計(jì)劃進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每公斤8元,銷售價每公斤12元;當(dāng)天未賣出的水果則轉(zhuǎn)賣給水果罐頭廠,但每公斤只能賣到5元。根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)?shù)貧鉁胤秶幸欢P(guān)系。如果氣溫不低于30度,需求量為5000公斤;如果氣溫位于,需求量為3500公斤;如果氣溫低于25度,需求量為2000公斤;為了制定今年9月份訂購計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年9月份的氣溫范圍數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表
氣溫范圍 | |||||
天數(shù) | 4 | 14 | 36 | 21 | 15 |
以氣溫范圍位于各區(qū)間的頻率代替氣溫范圍位于該區(qū)間的概率.
(1)求今年9月份這種水果一天需求量(單位:公斤)的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)設(shè)9月份一天銷售特產(chǎn)水果的利潤為(單位:元),當(dāng)9月份這種水果一天的進(jìn)貨量為(單位:公斤)為多少時,的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值,最大值為多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在創(chuàng)建“全國文明城市”過程中,銀川市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況,進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次)通過隨機(jī)抽樣,得到參加問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示:
組別 | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
頻數(shù) | 2 | 13 | 21 | 25 | 24 | 11 | 4 |
(1)由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分ZN(μ,198),μ近似為這100人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點(diǎn)值作代表),
①求μ的值;
②利用該正態(tài)分布,求;
(2)在(1)的條件下,“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案:
①得分不低于的可以獲贈2次隨機(jī)話費(fèi),得分低于的可以獲贈1次隨機(jī)話費(fèi);
②每次獲贈的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)的概率為:
贈送話費(fèi)的金額(單元:元) | 20 | 50 |
概率 |
現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查,記(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費(fèi),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù)與公式:.若,則,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從拋物線上任意一點(diǎn)向軸作垂線段垂足為,點(diǎn)是線段上的一點(diǎn),且滿足.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)設(shè)直線與軌跡交于兩點(diǎn),點(diǎn)為軌跡上異于的任意一點(diǎn),直線分別與直線交于兩點(diǎn).問:軸正半軸上是否存在定點(diǎn)使得以為直徑的圓過該定點(diǎn)?若存在,求出符合條件的定點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是某市10月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖,空氣質(zhì)量指數(shù)越小表示空氣質(zhì)量越好,空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良,下列敘述中不正確的是( )
A.這14天中有7天空氣質(zhì)量優(yōu)良
B.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是103
C.從10月11日到10月14日,空氣質(zhì)量越來越好
D.連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大的是10月5日至10月7日
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PCD,,,,E為AD的中點(diǎn),AC與BE相交于點(diǎn)O.
(1)證明:平面ABCD.
(2)求直線BC與平面PBD所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某籃球隊(duì)甲、乙兩名運(yùn)動員練習(xí)罰球,每人練習(xí)10組,每組罰球40個.命中個數(shù)的莖葉圖如圖,則下面結(jié)論中錯誤的一個是( )
A. 甲的極差是29 B. 甲的中位數(shù)是24
C. 甲罰球命中率比乙高 D. 乙的眾數(shù)是21
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形.謝爾賓斯基三角形是一種分形,由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1915年提出.具體操作是取一個實(shí)心三角形,沿三角形的三邊中點(diǎn)連線,將它分成4個小三角形,去掉中間的那一個小三角形后,對其余3個小三角形重復(fù)上述過程逐次得到各個圖形,如圖.
現(xiàn)在上述圖(3)中隨機(jī)選取一個點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在寬為的路邊安裝路燈,燈柱高為,燈桿是半徑為的圓的一段劣。窡舨捎缅F形燈罩,燈罩頂到路面的距離為,到燈柱所在直線的距離為.設(shè)為燈罩軸線與路面的交點(diǎn),圓心在線段上.
(1)當(dāng)為何值時,點(diǎn)恰好在路面中線上?
(2)記圓心在路面上的射影為,且在線段上,求的最大值.
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