【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形,是中點.
(1)求點到平面的距離;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1);(2).
【解析】試題分析:(1)根據(jù)勾股定理可證明平面,從而可分別以為軸、軸,軸,建立空間直角坐標系,先求的方向向量,再出利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的一個法向量,從而可得線面成角的正弦值,進而可得結(jié)果;(2)利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的一個法向量,結(jié)合(1)的結(jié)論,利用空間向量夾角余弦公式可得二面角的余弦值.
試題解析:∵正方形邊長,
∴,∴,∴平面,
∴分別以為軸、軸,軸,
建立如圖所示的空間直角坐標系,
則,
∴,
(1)設(shè)平面的一個法向量,
則,令,得,
∴與平面所成角的正弦值,
∴點到平面的距離為;
(2)設(shè)平面的一個法向量,
則,令,得,
∴,∴二面角的余弦值為.
【方法點晴】本題主要考查利用空間向量求二面角與線面角,屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當?shù)目臻g直角坐標系;(2)寫出相應點的坐標,求出相應直線的方向向量;(3)設(shè)出相應平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應的角和距離.
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【題目】如圖,點P在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的表面上運動,且P到直線BC與直線C1D1的距離相等,如果將正方體在平面內(nèi)展開,那么動點P的軌跡在展開圖中的形狀是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況,在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/小時)是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù),當橋上的車流密度達到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0;當車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/小時,研究表明:當20≤x≤200時,車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).
(1)當0≤x≤200時,求函數(shù)v(x)的表達式;
(2)當車流密度x為多大時,車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù),單位:輛/小時)f(x)=xv(x)可以達到最大,并求出最大值.(精確到1輛/小時).
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【題目】某高校進行社會實踐,對歲的人群隨機抽取1000人進行了一次是否開通“微博”的調(diào)查,開通“微博”的為“時尚族”,否則稱為“非時尚族”.通過調(diào)查得到各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示,其中在歲、歲年齡段人數(shù)中,“時尚族”人數(shù)分別占本組人數(shù)的80%、60%.
請完成以下問題:
(1)求歲與歲年齡段“時尚族”的人數(shù);
(2)從歲和歲年齡段的“時尚族”中,采用分層抽樣法抽取6人參加網(wǎng)絡時尚達人大賽,其中兩人作為領(lǐng)隊,求領(lǐng)隊的兩人年齡都在歲內(nèi)的概率.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=.
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)判斷并用定義證明函數(shù)f(x)在其定義域上的單調(diào)性.
(3)若對任意的t1,不等式f()+f()<0恒成立,求k的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域為實數(shù)集R,及整數(shù)k、T;
(1)若函數(shù)f(x)=2xsin(πx),證明f(x+2)=4f(x);
(2)若f(x+T)=kf(x),且f(x)=axφ(x)(其中a為正的常數(shù)),試證明:函數(shù)φ(x)為周期函數(shù);
(3)若f(x+6)= f(x),且當x∈[﹣3,3]時,f(x)= (x2﹣9),記Sn=f(2)+f(6)+f(10)+…+f(4n﹣2),n∈N+ , 求使得S1、S2、S3、…、Sn小于1000都成立的最大整數(shù)n.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx+a.
(1)若函數(shù)y=f(x)在x=e處的切線方程為y=2x,求實數(shù)a的值;
(2)設(shè)m>0,當x∈[m,2m]時,求f(x)的最小值;
(3)求證: .
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【題目】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=1,且對任意的x∈R,都有f′(x)< ,則不等式f(log2x)> 的解集為( )
A.(1,+∞)
B.(0,1)
C.(0,2)
D.(2,+∞)
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