【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx+a.
(1)若函數(shù)y=f(x)在x=e處的切線方程為y=2x,求實數(shù)a的值;
(2)設(shè)m>0,當(dāng)x∈[m,2m]時,求f(x)的最小值;
(3)求證: .
【答案】
(1)解:∵函數(shù)y=f(x)在x=e處的切線方程為y=2x,
∴此時y=2e,即切點坐標(biāo)為(e,2e),
則切點也在函數(shù)f(x)上,則f(e)=elne+a=e+a=2e,
則a=e,
(2)解:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=lnx+1,
由f′(x)>0得x> ,由f′(x)<0得0<x< ,
即函數(shù)在( ,+∞)上為增函數(shù),在(0, )上為減函數(shù),
①當(dāng)2m≤ ,即m≤ 時,f(x)min=f(2m)=2mln2m+a,
②當(dāng)m< <2m,即 <m< 時,f(x)min=f( )=﹣ +a,
③當(dāng)m≥ 時,f(x)min=f(m)=mlnm+a
(3)證明:令x= ,則x> ,
由(2)知,xlnx+a≥﹣ +a,
即xlnx≥﹣ ,當(dāng)x= 時,取等號,
∴ ln= >﹣ ,則﹣ln >﹣ ,即e < ,即ln(1+
∴ .
【解析】(1)求出切點坐標(biāo),代入函數(shù)進行求解即可.(2)求好的導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.(3)令x= ,利用(2)的結(jié)論,構(gòu)造不等式進行證明即可.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識,掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】加工爆米花時,爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下,可食用率p與加工時間t(單位:分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系(a,b,c是常數(shù)),如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù),可以得到最佳加工時間為________分鐘.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lg,
(1)求f(x)的定義域并判斷它的奇偶性.
(2)判斷f(x)的單調(diào)性并用定義證明.
(3)解關(guān)于x的不等式f(x)+f(2x2﹣1)<0.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知半徑為的圓的圓心在軸上,圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù),且與直線相切.
(Ⅰ)求圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線 與圓相交于兩點,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下,是否存在實數(shù),使得弦的垂直平分線過點,若存在,求出實數(shù)的值;若不存在,請說明理由
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若直線l1:y=x,l2:y=x+2與圓C:x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四個交點把圓C分成的四條弧長相等,則m=( )
A.0或1
B.0或﹣1
C.1或﹣1
D.0
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, 是拋物線上兩點,且與兩點橫坐標(biāo)之和為3.
(1)求直線的斜率;
(2)若直線,直線與拋物線相切于點,且,求方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】廣場舞是現(xiàn)代城市群眾文化、娛樂發(fā)展的產(chǎn)物,也是城市精神文明建設(shè)成果的一個重要象征.2017年某交社會實踐小組對某小區(qū)廣場舞的開展?fàn)顩r進行了年齡的調(diào)查,隨機抽取了40名廣場舞者進行調(diào)查,將他們的年齡分成6組后得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)廣場舞者年齡的頻率分布直方圖,估計廣場舞者的平均年齡;
(2)若從年齡在內(nèi)的廣場舞者中任取2名,求選中的兩人中至少有一人年齡在內(nèi)的概率.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com