Question

【題目】已知函數

（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若在上恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）若數列的前項和， ，求證：數列的前項和.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ)證明見解析.

【解析】試題分析： 將，求出切線方程求導后討論當時和時的單調性證明，求出實數的取值范圍先求出、的通項公式，利用當時， 得，下面證明：

解析：（Ⅰ）因為，所以， ，切點為.

由，所以，所以曲線在處的切線方程為，即

（Ⅱ）由，令，

則（當且僅當取等號）.故在上為增函數.

①當時， ,故在上為增函數，

所以恒成立，故符合題意；

②當時，由于， ，根據零點存在定理，

必存在，使得，由于在上為增函數，

故當時， ,故在上為減函數，

所以當時， ,故在上不恒成立，所以不符合題意.綜上所述，實數的取值范圍為

（III）證明：由

由（Ⅱ）知當時， ，故當時， ，

故，故.下面證明：

因為

而，

所以， ，即：