Question

【題目】已知二次函數(shù)，關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式的解集為．

（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式： ；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的函數(shù)（）的最小值為？若存在，求實(shí)數(shù)的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 答案見解析；(2)存在滿足條件的．

【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論可得：

當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；

當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；

當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為．

(2)假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)，結(jié)合（1）的結(jié)論，換元令，則， ，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論可得在滿足條件的．

試題解析：

（1）由不等式的解集為知，

關(guān)于的方程的兩根為-1和，且，

由根與系數(shù)關(guān)系，得， ∴，

所以原不等式化為，

①當(dāng)時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為，解得；

②當(dāng)時(shí)，原不等式化為，且，解得或；

③當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得且；

④當(dāng)時(shí)，原不等式化為，且，

解得或；

綜上所述：當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；

當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；

當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為．

（2）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)，

由（1）得： ，

，

令，則， ，

對(duì)稱軸，

因?yàn)?/span>，所以， ，

所以函數(shù)在單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)， 的最小值為，

解得（舍去），或，

故存在滿足條件的．