Question

【題目】已知點(diǎn)P（1，1），過點(diǎn)P動直線l與圓C：x2+y2﹣2y﹣4=0交與點(diǎn)A，B兩點(diǎn)．
（1）若|AB|= ，求直線l的傾斜角；
（2）求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意：圓C：x2+y2﹣2y﹣4=0，

化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2+（y﹣1）2=5，圓心C（0，1），r= ．

∵又|AB|=

當(dāng)動直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1時(shí)，顯然不滿足題意；

當(dāng)動直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)動直線l的方程為：y﹣1=k（x﹣1）即kx﹣y+1﹣k=0

故弦心距d= = ．

再由點(diǎn)到直線的距離公式可得d= = ，

解得：k=± ．

即直線l的斜率等于± ，

根據(jù)tanθ=k，

故得直線l的傾斜角等于 或 ．

（2）解：由題意：線段AB中點(diǎn)為M，設(shè)M的坐標(biāo)（x，y），

由垂徑定理可知∠PMC=90°，故點(diǎn)M的軌跡是以CP為直徑的圓，

又∵點(diǎn)C（0，1），P（1，1）

故M的軌跡方程為 ．

【解析】（1）利用點(diǎn)斜式，設(shè)出過P點(diǎn)的直線l，利用與圓的弦長為 ，求出k的值，可得直線l的傾斜角；（2）設(shè)M的坐標(biāo)（x，y），由垂徑定理可知∠PMC=90°，故點(diǎn)M的軌跡是以CP為直徑的圓．可得方程．