【題目】如圖，四棱錐中，，平面底面，，，是中點.

（1）證明：直線平面；

（2）點為線段的中點，求二面角的大小.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取中點，連接，，證出，利用線面平行的判定定理即可證出.

（2）不妨設(shè)，則，，取中點，得，，以為原點，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量與平面的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.

證明：（1）如圖，取中點，連接，，

因為為中位線，

所以且，

又因為且，

所以且，

所以四邊形為平行四邊形，所以，

又因為平面，平面，

所以平面.

（2）不妨設(shè)，則，，取中點，

所以，

又因為，，

所以四邊形為矩形，

所以，，

平面平面，所以平面，

，

又因為三角形為正三角形，

所以，

故如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

可得，，，，，，

所以，，

設(shè)平面的一個法向量為，則，可取，

易知平面的一個法向量，

所以，又知二面角為銳角，

則二面角的大小為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關(guān)的手機APP軟件層出不窮.現(xiàn)從某市使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機抽取100個商家，對它們的“平均送達(dá)時間”進(jìn)行統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖如下.

（1）已知抽取的100個使用A款訂餐軟件的商家中，甲商家的“平均送達(dá)時間”為18分鐘。現(xiàn)從使用A款訂餐軟件的商家中“平均送達(dá)時間”不超過20分鐘的商家中隨機抽取3個商家進(jìn)行市場調(diào)研，求甲商家被抽到的概率；

（2）試估計該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均送達(dá)時間”的眾數(shù)及平均數(shù)；

（3）如果以“平均送達(dá)時間”的平均數(shù)作為決策依據(jù)，從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐，你會選擇哪款？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】以昆明、玉溪為中心的滇中地區(qū)，冬無嚴(yán)寒、夏無酷暑，世界上主要的鮮切花品種在這里都能實現(xiàn)周年規(guī)模化生產(chǎn).某鮮花批發(fā)店每天早晨以每支2元的價格從鮮切花生產(chǎn)基地購入某種玫瑰，經(jīng)過保鮮加工后全部裝箱（每箱500支，平均每支玫瑰的保鮮加工成本為1元），然后以每箱2000元的價格整箱出售.由于鮮花的保鮮特點，制定了如下促銷策略：若每天下午3點以前所購進(jìn)的玫瑰沒有售完，則對未售出的玫瑰以每箱1200元的價格降價處理.根據(jù)經(jīng)驗，降價后能夠把剩余玫瑰全部處理完畢，且當(dāng)天不再購進(jìn)該種玫瑰，由于庫房限制每天最多加工6箱.

（1）若某天該鮮花批發(fā)店購入并加工了6箱該種玫瑰，在下午3點以前售出4箱，且被6位不同的顧客購買.現(xiàn)從這6位顧客中隨機選取2人贈送優(yōu)惠卡，則恰好一位是以2000元價格購買的顧客，另一位是以1200元價格購買的顧客的概率是多少？

（2）該鮮花批發(fā)店統(tǒng)計了100天內(nèi)該種玫瑰在每天下午3點以前的銷售量（單位：箱），統(tǒng)計結(jié)果如下表所示（視頻率為概率）：

/箱

4

5

6

頻數(shù)

30

①估計接下來的一個月（30天）內(nèi)該種玫瑰每天下午3點以前的銷售量不少于5箱的天數(shù)是多少？

②若批發(fā)店每天在購進(jìn)5箱數(shù)量的玫瑰時所獲得的平均利潤最大（不考慮其他成本），求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，，分別是橢圓的左、右焦點，離心率，過橢圓右焦點的直線與橢圓交于，兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）設(shè)點是一個動點，若直線的斜率存在，且為中點，，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近幾年來我國電子商務(wù)行業(yè)發(fā)展迅猛，2016年元旦期間，某購物平臺的銷售業(yè)績高達(dá)918億人民幣，與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和服務(wù)的評價體系，現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進(jìn)行統(tǒng)計，對商品的好評率為0.6，對服務(wù)的好評率為0.75，其中對商品和服務(wù)都做出好評的交易為80次.

（1）完成商品和服務(wù)評價的列聯(lián)表，并說明是否可以在犯錯誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)？

（2）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進(jìn)行的5次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)為隨機變量.

①求對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；

②求的數(shù)學(xué)期望和方差.

參考數(shù)據(jù)及公式如下：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（，其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形中，，過點作交于點，以為折痕把折起，當(dāng)幾何體的的體積最大時，則下列命題中正確的個數(shù)是（ ）

①

②∥平面

③與平面所成的角等于與平面所成的角

④與所成的角等于與所成的角

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

(2)已知函數(shù)，若，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm，細(xì)沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的（細(xì)管長度忽略不計）.假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下的沙，且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.以下結(jié)論正確的是（ ）

A.沙漏中的細(xì)沙體積為

B.沙漏的體積是

C.細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4cm

D.該沙漏的一個沙時大約是1985秒（）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知由n（n∈N*）個正整數(shù)構(gòu)成的集合A＝{a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥3），記SA＝a1+a2+…+an，對于任意不大于SA的正整數(shù)m，均存在集合A的一個子集，使得該子集的所有元素之和等于m.

（1）求a1，a2的值；

（2）求證：“a1，a2，…，an成等差數(shù)列”的充要條件是“”；

（3）若SA＝2020，求n的最小值，并指出n取最小值時an的最大值.

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