【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-1-lnx,其中a∈R.
(1)若a=0,求過(guò)點(diǎn)(0,-1)且與曲線y=f(x)相切的直線方程;
(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,
① 求a的取值范圍;
② 求證:f ′(x1)+f ′(x2)<0.
【答案】(1) y=-x-1 (2) ① (0,e).②見解析
【解析】試題分析:(1)設(shè)切點(diǎn)為T(x0,-1-lnx0),得切線:y+1+lnx0=- ( x-x0),將點(diǎn)(0,-1)代入求解即可;
(2)①求導(dǎo)f ′(x)=,討論a≤0,和a>0時(shí)函數(shù)的單調(diào)性求解即可;
②由x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)(不妨設(shè)x1<x2),得 ,兩式作差得a(x1+x2)=,代入要證得式子得2ln+->0,令h(x)=2lnx+-x,x∈(0,1),求導(dǎo)利用單調(diào)性求最值即可證得.
試題解析:
(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-1-lnx,f ′(x)=-.
設(shè)切點(diǎn)為T(x0,-1-lnx0),
則切線方程為:y+1+lnx0=- ( x-x0).
因?yàn)榍芯過(guò)點(diǎn)(0,-1),所以 -1+1+ln x0=-(0-x0),解得x0=e.
所以所求切線方程為y=-x-1.
(2)① f ′(x)=ax-=,x>0.
(i) 若a≤0,則f ′(x)<0,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
從而函數(shù)f(x)在(0,+∞)上至多有1個(gè)零點(diǎn),不合題意.
(ii)若a>0,由f ′(x)=0,解得x=.
當(dāng)0<x<時(shí), f ′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>時(shí), f ′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
所以f(x)min=f()=-ln-1=--ln.
要使函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),首先 --ln<0,解得0<a<e.
當(dāng)0<a<e時(shí),>>.
因?yàn)?/span>f()=>0,故f()·f()<0.
又函數(shù)f(x)在(0,)上單調(diào)遞減,且其圖像在(0,)上不間斷,
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,)內(nèi)恰有1個(gè)零點(diǎn).
考察函數(shù)g(x)=x-1-lnx,則g′(x)=1-=.
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)<0,函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0,函數(shù)g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
所以g(x)≥g(1)=0,故f()=-1-ln≥0.
因?yàn)?/span>-=>0,故>.
因?yàn)?/span>f()·f()≤0,且f(x)在(,+∞)上單調(diào)遞增,其圖像在(,+∞)上不間斷,
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(,] 上恰有1個(gè)零點(diǎn),即在(,+∞)上恰有1個(gè)零點(diǎn).
綜上所述,a的取值范圍是(0,e).
②由x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)(不妨設(shè)x1<x2),得
兩式相減,得 a(x12-x22)-ln=0,即a(x1+x2) (x1-x2)-ln=0,
所以a(x1+x2)=.
f ′(x1)+f ′(x2)<0等價(jià)于ax1-+ax2-<0,即a(x1+x2)--<0,
即--<0,即2ln+->0.
設(shè)h(x)=2lnx+-x,x∈(0,1).則h′(x)=--1==-<0,
所以函數(shù)h(x)在(0,1)單調(diào)遞減,所以h(x)>h(1)=0.
因?yàn)?/span>∈(0,1),所以2ln+->0,
即f ′(x1)+f ′(x2)<0成立.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓C: =1的離心率e= ,動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C上,點(diǎn)P到橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和是4.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若橢圓C1的方程為 =1(m>n>0),橢圓C2的方程為 =λ(λ>0,且λ≠1),則稱橢圓C2是橢圓C1的λ倍相似橢圓.已知橢圓C2是橢圓C的3倍相似橢圓.若過(guò)橢圓C上動(dòng)點(diǎn)P的切線l交橢圓C2于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),試證明當(dāng)切線l變化時(shí)|PA|=|PB|并研究△OAB面積的變化情況.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某小型企業(yè)甲產(chǎn)品生產(chǎn)的投入成本(單位:萬(wàn)元)與產(chǎn)品銷售收入(單位:萬(wàn)元)存在較好的線性關(guān)系,下表記錄了最近5次產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù).
(投入成本) | 7 | 10 | 11 | 15 | 17 |
(銷售收入) | 19 | 22 | 25 | 30 | 34 |
(1)求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)根據(jù)(1)中的回歸方程,判斷該企業(yè)甲產(chǎn)品投入成本20萬(wàn)元的毛利率更大還是投入成本24萬(wàn)元的毛利率更大()?
相關(guān)公式: , .
【答案】(1).(2)投入成本20萬(wàn)元的毛利率更大.
【解析】試題分析:(1)由回歸公式,解得線性回歸方程為;(2)當(dāng)時(shí), ,對(duì)應(yīng)的毛利率為,當(dāng)時(shí), ,對(duì)應(yīng)的毛利率為,故投入成本20萬(wàn)元的毛利率更大。
試題解析:
(1), ,
, ,故關(guān)于的線性回歸方程為.
(2)當(dāng)時(shí), ,對(duì)應(yīng)的毛利率為,
當(dāng)時(shí), ,對(duì)應(yīng)的毛利率為,
故投入成本20萬(wàn)元的毛利率更大.
【題型】解答題
【結(jié)束】
21
【題目】如圖,在正方體中, 分別是棱的中點(diǎn), 為棱上一點(diǎn),且異面直線與所成角的余弦值為.
(1)證明: 為的中點(diǎn);
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCD – A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F,G分別是棱BC,A1B1,B1C1的中點(diǎn).
(1)求異面直線EF與DG所成角的余弦值;
(2)設(shè)二面角A—BD—G的大小為θ,求 |cosθ| 的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣2|+|x+a|(a∈R).
(1)若a=1時(shí),求不等式f(x)≥4的解集;
(2)若不等式f(x)≤2x的解集為[1,+∞),求a的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,左右焦點(diǎn)分別為和,以點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓與以點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓相交,且交點(diǎn)在橢圓上.
()求橢圓的方程.
()設(shè)橢圓, 為橢圓上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn),射線交橢圓于點(diǎn).
①求的值.
②(理科生做)求面積的最大值.
③(文科生做)當(dāng)時(shí), 面積的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法中不正確的序號(hào)為____________.
①若函數(shù)在上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)的取值范圍是;
②函數(shù)是偶函數(shù),但不是奇函數(shù);
③已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,則函數(shù)的定義域是;
④若函數(shù)在上有最小值-4,(,為非零常數(shù)),則函數(shù) 在上有最大值6.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若是實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù),求的值;
(2)用定義證明在實(shí)數(shù)集上的單調(diào)遞增;
(3)若的值域?yàn)?/span>,且[,求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,點(diǎn)E、F分別在棱BB1、CC1上,且BE= BB1 , C1F= CC1 .
(1)求平面AEF與平面ABC所成角α的余弦值;
(2)若G為BC的中點(diǎn),A1G與平面AEF交于H,且設(shè) = ,求λ的值.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com