Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左右焦點(diǎn)分別為和，以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上．

（）求橢圓的方程．

（）設(shè)橢圓， 為橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn)．

①求的值．

②（理科生做）求面積的最大值．

③（文科生做）當(dāng)時(shí)， 面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①2, ②（理）（文）.

【解析】試題分析：（）利用橢圓的定義進(jìn)行求解；（）①設(shè)點(diǎn)，利用點(diǎn)在橢圓上和三點(diǎn)共線進(jìn)行求解；②先利用點(diǎn)到直線的距離公式求得，再聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式、三角形的面積公式進(jìn)行求解；③先利用點(diǎn)到直線的距離公式求得，再聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式、三角形的面積公式進(jìn)行求解.

試題解析：（）設(shè)兩圓的一個交點(diǎn)為，則， ，由在橢圓上可得，則， ，得，則，

故橢圓方程為．

（）①橢圓為方程為，

設(shè)，則有，

在射線上，設(shè)，

代入橢圓可得，

解得，即，

．

②（理）由①可得為中點(diǎn)， 在直線上，則到直線的距離與到直線的距離相等，

故，聯(lián)立，

可得，

則， ，

，

聯(lián)立，得，

，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，

故最大值為．

②（文）此時(shí)直線方程為，由①可得為的中點(diǎn)，而在直線上，則到直線的距離與到直線的距離相等，則，聯(lián)立，

可得，

則， ， ，

聯(lián)立，得，

，

．

故最大值為．