【題目】設(shè)橢圓的離心率,左頂點(diǎn)到直線的距離,為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn),若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),證明:點(diǎn)到直線的距離為定值;
(III)在(Ⅱ)的條件下,試求的面積的最小值.
【答案】(1);(2)定值為;(3)
【解析】
試題(1)根據(jù)題目條件建立a,b,c的兩個(gè)方程,可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),等價(jià)于OA⊥OB,再轉(zhuǎn)換為x1x2+y1y2=0,結(jié)合A、B是直線與橢圓的公共點(diǎn),可得原點(diǎn)到直線的距離為定值;(3)結(jié)合(2),將三角形的面積表示為直線斜率的函數(shù)關(guān)系式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求的面積的最小值.
試題解析:(1)由e=,得c=a,又b2=a2-c2,所以b=a,即a=2b.
由左頂點(diǎn)M(-a,0)到直線,即bx+ay-ab=0的距離d=,
得,即,
把a=2b代入上式,得,解得b=1.所以a=2b=2,c=.
所以橢圓C的方程為. 3分
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),則由橢圓的對(duì)稱性,可知x1=x2,y1=-y2.
因?yàn)橐?/span>AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),故=0,
即x1x2+y1y2=0,也就是,
又點(diǎn)A在橢圓C上,所以,
解得|x1|=|y1|=.
此時(shí)點(diǎn)O到直線AB的距離d1=|x1|=.
②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),
設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,
與橢圓方程聯(lián)立有
消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0
所以
因?yàn)橐?/span>AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,所以OA⊥OB
于是=x1x2+y1y2=0,
所以(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0
所以
整理得:5m2=4(k2+1)
所以點(diǎn)O到直線AB的距離d1=.
綜上所述,點(diǎn)O到直線AB的距離為定值. 8分
(3)設(shè)直線OA的斜率為k0.
當(dāng)k0≠0時(shí),
則OA的方程為y=k0x,OB的方程為,
聯(lián)立得同理可求得
故△AOB的面積為S==2.
令1+=t(t>1),
則S=2=2,
令g(t)=(t>1),所以4<g(t)≤.所以≤S<1.
當(dāng)k0=0時(shí),可求得S=1,
故≤S≤1,故S的最小值為. 13分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“微信運(yùn)動(dòng)”是一個(gè)類似計(jì)步數(shù)據(jù)庫(kù)的公眾帳號(hào),用戶只需以運(yùn)動(dòng)手環(huán)或手機(jī)協(xié)處理器的運(yùn)動(dòng)教據(jù)為介,然后關(guān)注該公眾號(hào),就能看見(jiàn)自己與好友每日行走的步數(shù),并在同一排行榜上得以體現(xiàn),現(xiàn)隨機(jī)選取朋友圈中的50人記錄了他們某一天的走路步數(shù),并將數(shù)據(jù)整理如下:
規(guī)定:人一天行走的步數(shù)超過(guò)8000步時(shí)被系統(tǒng)評(píng)定為“積極性”,否則為“懈怠性”.
(1)填寫下面列聯(lián)表(單位:人),并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“評(píng)定類型與性別有關(guān)”;
附:
(2)為了進(jìn)一步了解“懈怠性”人群中每個(gè)人的生活習(xí)慣,從步行在的人群中再隨機(jī)抽取3人,求選中的人中男性人數(shù)超過(guò)女性人數(shù)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),,α∈(,).
(1)若,求角α的值;
(2)若,求的值.
(3)若在定義域α∈(,)有最小值,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品和產(chǎn)品需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要甲材料,乙材料,并且需要花費(fèi)1天時(shí)間;生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要甲材料,乙材料,也需要1天時(shí)間,生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為1000元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為2000元.該企業(yè)現(xiàn)有甲、乙材料各,則在不超過(guò)120天的條件下,求生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品的利潤(rùn)之和的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓O:,直線l:.
若直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A,B,當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)k的值;
若,P是直線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作圓O的兩條切線PC、PD,切點(diǎn)分別為C、D,試探究:直線CD是否過(guò)定點(diǎn)若存在,請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】風(fēng)景秀美的寶湖畔有四棵高大的銀杏樹(shù),記作A,B,P,Q,湖岸部分地方圍有鐵絲網(wǎng)不能靠近.欲測(cè)量P,Q兩棵樹(shù)和A,P兩棵樹(shù)之間的距離,現(xiàn)可測(cè)得A,B兩點(diǎn)間的距離為100 m,∠PAB=75°,∠QAB=45°,∠PBA=60°,∠QBA=90°,如圖所示.則P,Q兩棵樹(shù)和A,P兩棵樹(shù)之間的距離各為多少?
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面,,,,點(diǎn)為棱的中點(diǎn),
(1)證明:;
(2)若點(diǎn)為棱上一點(diǎn),且,求二面角的余弦值.
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【題目】選修4—4:極坐標(biāo)與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,將曲線 (為參數(shù)) 上任意一點(diǎn)經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線的圖形.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸,取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,已知直線.
(Ⅰ)求曲線和直線的普通方程;
(Ⅱ)點(diǎn)P為曲線上的任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線的距離的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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【題目】“劍橋?qū)W派”創(chuàng)始人之一數(shù)學(xué)家哈代說(shuō)過(guò):“數(shù)學(xué)家的造型,同畫家和詩(shī)人一樣,也應(yīng)當(dāng)是美麗的”;古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)造的“黃金分割”給我們的生活處處帶來(lái)美;我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)造了優(yōu)美“弦圖”.“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形,如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的銳角為,則等于( )
A.B.C.D.
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