【題目】如圖,⊙O是等腰三角形ABC的外接圓,AB=AC,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D,使CD=AC,連接AD交⊙O于點(diǎn)E,連接BE與AC交于點(diǎn)F.
(1)判斷BE是否平分∠ABC,并說明理由;
(2)若AE=6,BE=8,求EF的長(zhǎng).
【答案】
(1)解:BE平分∠ABC,理由如下:
證明:∵AC=CD,
∴∠CAD=∠ADC,
∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD
又∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=2∠CAD,
∵∠CAD=∠EBC,
∴∠ABC=2∠EBC,
∴BE平分∠ABC
(2)解:連接EC,由(1)BE平分∠ABC,
∴E是弧AC的中點(diǎn),
∴AE=EC=6,
又∠EBC=∠CAD=∠ADC,
∴ED=BD=8
∵A、B、C、E四點(diǎn)共圓,
∴∠CED=∠ABC=∠ACB=∠AEF
∴△AEF∽△DEC
∴ ,
∴EF= =
【解析】(1)BE平分∠ABC.由已知中邊的相等,可得∠CAD=∠D,∠ABC=∠ACB,再利用同弧所對(duì)的圓周角相等,可得∠CAD=∠D=∠DBE,即有∠ABE+∠EBD=∠CAD+∠D,利用等量減等量差相等,可得∠EBD=∠D=∠ABE,故得證.(2)由(1)中的所證條件∠ABE=∠FAE,再加上兩個(gè)三角形的公共角,可證△BEA∽△AEF,利用比例線段可求EF.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓 (m>1)與雙曲線 (n>0)有公共焦點(diǎn)F1 , F2 . P是兩曲線的交點(diǎn),則 =( )
A.4
B.2
C.1
D.
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【題目】已知向量 =(1,3cosα), =(1,4tanα), ,且 =5.
(1)求| + |;
(2)設(shè)向量 與 的夾角為β,求tan(α+β)的值.
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【題目】已知函數(shù)。
(1)若f(x)在上為增函數(shù),求m的取值范圍;
(2)若f(x)的值域?yàn)镽,求m的取值范圍。
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q為AD的中點(diǎn),M是棱PC上的點(diǎn),PA=PD=2,BC= AD=1,CD= .
(1)求證:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若M為棱PC的中點(diǎn),求異面直線AP與BM所成角的余弦值;
(3)若二面角M﹣BQ﹣C大小為30°,求QM的長(zhǎng).
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【題目】直三棱柱中,底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形, 是棱的中點(diǎn),且.
(1)若點(diǎn)為棱的中點(diǎn),求異面直線與所成角的余弦值;
(2)若點(diǎn)在棱上,且平面,求線段的長(zhǎng).
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【題目】已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)在的單調(diào)性.(不需要證明);
(2)探究是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)為奇函數(shù)?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)在(2)的條件下,解不等式.
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【題目】已知函數(shù)()在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)記兩個(gè)極值點(diǎn)分別為, (),求證: .
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求的值;
(2)若函數(shù)有正數(shù)零點(diǎn),求滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若對(duì)于任意的時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
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