Question

【題目】如圖，已知圓：（）和雙曲線：（），記與軸正半軸、軸負半軸的公共點分別為、，又記與在第一、第四象限的公共點分別為、.

（1）若，且恰為的左焦點，求的兩條漸近線的方程；

（2）若，且，求實數的值；

（3）若恰為的左焦點，求證：在軸上不存在這樣的點，使得.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）依據圓的方程求出點B坐標，進而求出，得到雙曲線的漸近線方程；

（2）聯(lián)立圓與雙曲線方程，得到關于的方程，利用根與系數的關系求出，再根據建立等式，求出實數；（3）先證明出AC的長為定值，再根據三角不等式說明，這樣的點不存在。

（1）當時，圓：，所以點B的坐標為，

即有，，故的兩條漸近線的方程為；

（2）當時，圓：，：，

聯(lián)立 得，，設

所以，因為點A的坐標是（0,3），由得

，，解得，所以，

解得，代入，解得，

故。

（3）由題意知，點A的坐標是， ，

由得，，

,

所以用求根公式求得 ，

因為 ，所以，

即，故，又，

故在軸上不存在這樣的點，使得.