【題目】對于實數(shù),將滿足為整數(shù)的實數(shù)稱為實數(shù)的小數(shù)部分,用記號表示.對于實數(shù),無窮數(shù)列滿足如下條件:,其中

(1)若,求數(shù)列;

(2)當時,對任意的,都有,求符合要求的實數(shù)構成的集合;

(3)若是有理數(shù),設是整數(shù),是正整數(shù),互質(zhì)),問對于大于的任意正整數(shù),是否都有成立,并證明你的結(jié)論.

【答案】(1);(2);(3)成立,證明見解析.

【解析】

試題分析:(1)利用新定義,可求數(shù)列的通項公式;(2)分類討論,利用,即可求符合要求的實數(shù)構成的集合;(3)由是有理數(shù),可知對一切正整數(shù)或正有理數(shù),可設是非負整數(shù),是正整數(shù),且,互質(zhì)),利用反證法可得結(jié)論.

試題解析:(1),,

,則

所以.

(2),所以,所以,

,即時,,所以,

得(,舍去).

,即時,,所以,

,舍去).

,即時,,所以,

解得舍去).

綜上.

(2)成立.由是有理數(shù),可知對一切正整數(shù),為0或正有理數(shù),

可設是非負整數(shù),是正整數(shù),且既約).

,可得;

,設,是非負整數(shù)),

,而由,

,故,,可得.

均不為0,則這正整數(shù)互不相同且都小于,

但小于的正整數(shù)共有個,矛盾.

中至少有一個為0,即存在,使得.

從而數(shù)列以及它之后的項均為0,所以對不大于的自然數(shù),都有.

練習冊系列答案
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