如圖,曲線C
1是以原點O為中心,F(xiàn)
1,F(xiàn)
2為焦點的橢圓的一部分.曲線C
2是以O(shè)為頂點,F(xiàn)
2為焦點的拋物線的一部分,A是曲線C
1和C
2的交點且∠AF
2F
1為鈍角,若|AF
1|=
,|AF
2|=
.
(1)求曲線C
1和C
2的方程;
(2)設(shè)點C是C
2上一點,若|CF
1|=
|CF
2|,求△CF
1F
2的面積.
(1)曲線C
1的方程為
+
=1(-3≤x≤
),曲線C
2的方程為y
2=4x(0≤x≤
)
(2)2
(1)設(shè)橢圓方程為
+
=1(a>b>0),則2a=|AF
1|+|AF
2|=
+
=6,得a=3.
設(shè)A(x,y),F(xiàn)
1(-c,0),F(xiàn)
2(c,0),則(x+c)
2+y
2=(
)
2,(x-c)
2+y
2=(
)
2,兩式相減得xc=
.由拋物線的定義可知|AF
2|=x+c=
,
則c=1,x=
或x=1,c=
.又∠AF
2F
1為鈍角,
則x=1,c=
不合題意,舍去.當(dāng)c=1時,b=2
,
所以曲線C
1的方程為
+
=1(-3≤x≤
),曲線C
2的方程為y
2=4x(0≤x≤
).
(2)過點F
1作直線l垂直于x軸,過點C作CC
1⊥l于點C
1,依題意知|CC
1|=|CF
2|.
在Rt△CC
1F
1中,|CF
1|=
|CF
2|=
|CC
1|,所以∠C
1CF
1=45°,
所以∠CF
1F
2=∠C
1CF
1=45°.
在△CF
1F
2中,設(shè)|CF
2|=r,則|CF
1|=
r,|F
1F
2|=2.
由余弦定理得2
2+(
r)
2-2×2×
rcos45°=r
2,
解得r=2,
所以△CF
1F
2的面積S△CF
1F
2=
|F
1F
2|·|CF
1|sin45°=
×2×2
sin45°=2.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知拋物線方程為
,過點
作直線與拋物線交于兩點
,
,過
分別作拋物線的切線,兩切線的交點為
.
(1)求
的值;
(2)求點
的縱坐標(biāo);
(3)求△
面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,等邊三角形OAB的邊長為8
,且其三個頂點均在拋物線E:x
2=2py(p>0)上.
(1)求拋物線E的方程;
(2)設(shè)動直線l與拋物線E相切于點P,與直線y=-1相交于點Q,證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
如圖,在△ABC中,
tan=,
•=0,則過點C,以A、H為兩焦點的雙曲線的離心率為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
拋物線
的焦點是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
設(shè)拋物線
上一點P到
軸的距離是4,則點P到該拋物線焦點的距離是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
設(shè)斜率為1的直線l過拋物線y2=ax(a>0)的焦點F,且和y軸交于點A,若△OAF(O為坐標(biāo)原點)的面積為8,則a的值為________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知點
在拋物線C:
的準(zhǔn)線上,過點A的直線與C在第一象限相切于點B,記C的焦點為F,則直線BF的斜率為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
設(shè)拋物線
的焦點為
,
為拋物線
上一點,且點
的橫坐標(biāo)為2,則
.
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