Question

【題目】已知函數(shù)的兩個極值點為，且．

（1）求的值；

（2）若在（其中）上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．

【解析】

試分題析：對問題（1）首先對函數(shù)進行求導(dǎo)，并令，再結(jié)合韋達定理，即可求出實數(shù)的值，進而可得到值的；對題問（2）可以根據(jù)（1）的結(jié)論，并結(jié)合對的討論，進而可求出的取值范圍；對問題（3），可以通過引入函數(shù)，并通過求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，進而可證明，再根據(jù)已知條件可以證明，進而可證明所需結(jié)論.

試題解析：（1）∵，

∴由得，∴，∴

∴由得，

∵，∴，

（2）由（1）知，在上遞減，在上遞增，其中，

當(dāng)在上遞減時， ，又，∴，

當(dāng)在上遞增時， ，

綜上，的取值范圍為

（3）證明：設(shè)，則，令得；令得，

∴，∴

∵（當(dāng)時取等號），

∴不等式成立（因為取等條件不相同，所以等號取不到）