Question

【題目】已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線垂直.

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；(2) .

【解析】

(1)利用導數(shù)的幾何意義求解,再利用導數(shù)的正負求解單調(diào)區(qū)間即可.

(2) 令,求導分析的單調(diào)性與最小值,再分和兩種情況討論即可.

解:(1)由已知得,則.

又因為直線的斜率為

所以,解得.

所以,定義域為,

所以.

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,無單調(diào)減區(qū)間.

(2)令.則

令,則

當時,,所以.

所以函數(shù)為增函數(shù).

所以,所以.

①當時,,所以當時,,

所以函數(shù)為增函數(shù),所以,

故對成立；

②當時,,由時,,

,

當,知,即.

所以函數(shù)為減函數(shù).

所以當時,.

從而,這與題意不符.

綜上,實數(shù)的取值范圍為.