Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線：的焦點(diǎn)，是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過，，三點(diǎn)的圓的圓心為.

（1）是否存在過點(diǎn)，斜率為的直線，使得拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，求出的范圍；若不存在，說(shuō)明理由；

（2）是否存在點(diǎn)，使得直線與拋物線相切于點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）不存在，理由見解析；（2）存在，

【解析】

(1)． 先假設(shè)存在，設(shè)直線的方程為，若A,B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程為，聯(lián)立直線AB與拋物線方程，求A，B兩點(diǎn)的中點(diǎn)N，再將N帶入直線l中，在判斷是否能求出k的范圍；

(2)． 將拋物線化為二次函數(shù)形：，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線MQ，結(jié)合Q點(diǎn)的宗坐標(biāo)值，求得Q的橫坐標(biāo)；最后根據(jù)，列出關(guān)于關(guān)于M點(diǎn)橫坐標(biāo)x的方程，并求解即可。

（1）假設(shè)存在，設(shè)直線的方程為，關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)，，由題意知，所以直線的方程為，

聯(lián)立消可得：，

（※），

所以，，

所以，中點(diǎn)，由題意在直線上，

所以，即，

代入（※）式可得：，即，無(wú)實(shí)數(shù)解，故不存在符合題意的直線.

（2）點(diǎn)，又，設(shè)，

變形為，所以，

因?yàn)橹本�為拋物線的切線，故，

解得，即，

又取中點(diǎn)，由垂徑定理知，

所以可得：，

解得，所以存在符合題意