【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長為4.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點作兩條直線，分別交橢圓于，兩點（異于點）.當直線，的斜率之和為定值時，直線是否恒過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（I）根據(jù)橢圓的離心率和短軸長列方程組，解方程組求得的值，進而求得橢圓方程.（II）當直線的斜率存在時，設(shè)出直線的方程，根據(jù)化簡得到表達式.聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達定理，并代入上面求得的表達式，化簡后可求得的關(guān)系式，帶回直線的方程，由此求得直線所過定點.當直線斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，利用，求出的值，由此判斷此時直線所過定點.

（Ⅰ）由題意知：，，.

解得，，，所以橢圓方程為.

（Ⅱ）當直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，，

由，得，整理得

聯(lián)立，消去得，由題意知二次方程有兩個不等實根.

∴，，

代入得.

整理得.

∵，∴，∴，即.

所以直線過定點.

當直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，，，其中.

∴ ，由，得，∴.

∴當直線的斜率不存在時，直線也過定點.

綜上所述，直線恒過定點.

練習冊系列答案
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