(本小題滿分12分)已知直線經(jīng)過橢圓的左頂點A和上頂點D,橢圓的右頂點為,點和橢圓上位于軸上方的動點,直線,與直線分別交于兩點。

(I)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求線段MN的長度的最小值;
(Ⅲ)當線段MN的長度最小時,在橢圓上是否存在這
樣的點,使得的面積為?若存在,確定點的個數(shù),若不存在,說明理由

(1)
(2) 線段的長度取最小值
(3)

解析試題分析:(I)由已知得,橢圓的左頂點為上頂點為
故橢圓的方程為
(Ⅱ)直線AS的斜率顯然存在,且,故可設直線的方程為,從而
0
,從而





當且僅當,即時等號成立
時,線段的長度取最小值
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,當取最小值時,
此時的方程為
要使橢圓上存在點,使得的面積等于,只須到直線的距離等于,所以在平行于且與距離等于的直線上。
設直線
則由解得
考點:直線與橢圓的位置關系
點評:解決該試題的關鍵是利用已知中的性質(zhì)得到其方程,同時能結合韋達定理來得到弦長,同時能結合直線方程和點到直線的距離得到探索性問題。

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相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

直角坐標平面上,為原點,為動點,,. 過點軸于,過軸于點,. 記點的軌跡為曲線,
、,過點作直線交曲線于兩個不同的點、(點之間).
(1)求曲線的方程;
(2)是否存在直線,使得,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓的離心率為,焦點到相應準線的距離為
(1)求橢圓C的方程
(2)設直線與橢圓C交于A、B兩點,坐標原點到直線的距離為,求面積的最大值。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分14分)已知圓的圓心為原點,且與直線相切。

(1)求圓的方程;
(2)點在直線上,過點引圓的兩條切線,切點為,求證:直線恒過定點。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
已知拋物線C1:y2=4x的焦點與橢圓C2:的右焦點F2重合,F(xiàn)1是橢圓的左焦點;
(Ⅰ)在ABC中,若A(-4,0),B(0,-3),點C在拋物線y2=4x上運動,求ABC重心G的軌跡方程;
(Ⅱ)若P是拋物線C1與橢圓C2的一個公共點,且∠PF1F2=,∠PF2F1=,求cos的值及PF1F2的面積。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓E:的焦點坐標為),點M()在橢圓E上.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設Q(1,0),過Q點引直線與橢圓E交于兩點,求線段中點的軌跡方程;

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分10分)
已知點,參數(shù),點Q在曲線C:上.
(1)求在直角坐標系中點的軌跡方程和曲線C的方程;
(2)求|PQ|的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
已知橢圓,橢圓的長軸為短軸,且與有相同的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設O為坐標原點,點A,B分別在橢圓上,,求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分14分)
已知動圓P(圓心為點P)過定點A(1,0),且與直線相切。記動點P的軌跡為C。
(Ⅰ)求軌跡C的方程;
(Ⅱ)設過點P的直線l與曲線C相切,且與直線相交于點Q。試研究:在x軸上是否存在定點M,使得以PQ為直徑的圓恒過點M?若存在,求出點M的坐標;若不存在,說明理由。

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