【題目】某海濕地如圖所示,A、B和C、D分別是以點O為中心在東西方向和南北方向設置的四個觀測點,它們到點O的距離均為公里,實線PQST是一條觀光長廊,其中,PQ段上的任意一點到觀測點C的距離比到觀測點D的距離都多8公里,QS段上的任意一點到中心點O的距離都相等,ST段上的任意一點到觀測點A的距離比到觀測點B的距離都多8公里,以O為原點,AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系xOy.
(1)求觀光長廊PQST所在的曲線的方程;
(2)在觀光長廊的PQ段上,需建一服務站M,使其到觀測點A的距離最近,問如何設置服務站M的位置?
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)由題意知,QS的軌跡為圓的一部分,PQ的軌跡為雙曲線的一部分,ST的軌跡為雙曲線的一部分,分別求出對應的軌跡方程即可;
(2)由題意設點M(x,y),計算|MA|2的解析式,再求|MA|的最小值與對應的x、y的值.
解:(1)①由題意知,QS段上的任意一點到中心點O的距離都相等,
QS的軌跡為圓的一部分,其中r=4,圓心坐標為O,
即x≥0、y≥0時,圓的方程為x2+y2=16;
②PQ段上的任意一點到觀測點C的距離比到觀測點D的距離都多8公里,
PQ的軌跡為雙曲線的一部分,且c=4,a=4,
即x<0、y>0時,雙曲線方程為1;
③ST段上的任意一點到觀測點A的距離比到觀測點B的距離都多8公里,
ST的軌跡為雙曲線的一部分,且c=4,a=4,
即x>0、y<0時,雙曲線方程為1;
綜上,x≥0、y≥0時,曲線方程為x2+y2=16;
x<0、y>0時,曲線方程為1;
x>0、y<0時,曲線方程為1;
[注]可合并為1;
(2)由題意設點M(x,y),其中1,其中x≤0,y≥0;
則|MA|2y2x2+16=232;
當且僅當x=﹣2時,|MA|取得最小值為4;
此時y=42;
∴點M(﹣2,2).
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,并使得它與直角坐標系有相同的長度單位,曲線的極坐標方程為.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)設曲線與直線交于、兩點,且點的坐標為,求的值.
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【題目】已知拋物線E:x2=2py(p>0)的焦點為F,點M是直線y=x與拋物線E在第一象限內(nèi)的交點,且|MF|=5.
(1)求拋物E的方程.
(2)直線l與拋物線E相交于兩點A,B,過點A,B分別作AA1⊥x軸于A1,BB1⊥x軸于B1,原點O到直線l的距離為1.求的最大值.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知圓經(jīng)過,,三點,是線段上的動點,,是過點且互相垂直的兩條直線,其中交軸于點,交圓于、兩點.
(1)若,求直線的方程;
(2)若是使恒成立的最小正整數(shù).
①求的值;
②求三角形的面積的最小值.
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【題目】為研究男、女生的身高差異,現(xiàn)隨機從高二某班選出男生、女生各人,并測量他們的身高,測量結(jié)果如下(單位:厘米):
男:
女:
根據(jù)測量結(jié)果完成身高的莖葉圖(單位:厘米),并分別求出男、女生身高的平均值.
請根據(jù)測量結(jié)果得到名學生身高的中位數(shù)中位數(shù)(單位:厘米),將男、女身高不低于和低于的人數(shù)填入下表中,并判斷是否有的把握認為男、女身高有差異?
參照公式:
若男生身高低于165厘米為偏矮,不低于165厘米且低于175厘米為正常,不低于175厘米為偏高,假設可以用測量結(jié)果的頻率代替概率,試求從高三的男生中任意選出2人,恰有1人身高屬于正常的概率.
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【題目】已知橢圓C:的左焦點為F(﹣1,0),離心率為,過點F的直線l與橢圓C交于A、B兩點.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設過點F不與坐標軸垂直的直線交橢圓C于A、B兩點,線段AB的垂直平分線與x軸交于點G,求點G橫坐標的取值范圍.
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【題目】已知橢圓C:1(a>b>0)經(jīng)過點(,1),F(0,1)是C的一個焦點,過F點的動直線l交橢圓于A,B兩點.
(1)求橢圓C的方程
(2)是否存在定點M(異于點F),對任意的動直線l都有kMA+kMB=0,若存在求出點M的坐標,若不存在,請說明理由.
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【題目】已知橢圓的離心率為,其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成的三角形的面積為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)直線與圓相切,并與橢圓交于不同的兩點和,若為坐標原點),求線段長度的取值范圍.
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【題目】甲、乙兩位同學分別做下面這道題目:在平面直角坐標系中,動點到的距離比到軸的距離大,求的軌跡.甲同學的解法是:解:設的坐標是,則根據(jù)題意可知
,化簡得; ①當時,方程可變?yōu)?/span>;②這表示的是端點在原點、方向為軸正方向的射線,且不包括原點; ③當時,方程可變?yōu)?/span>; ④這表示以為焦點,以直線為準線的拋物線;⑤所以的軌跡為端點在原點、方向為軸正方向的射線,且不包括原點和以為焦點,以直線為準線的拋物線. 乙同學的解法是:解:因為動點到的距離比到軸的距離大. ①如圖,過點作軸的垂線,垂足為. 則.設直線與直線的交點為,則; ②即動點到直線的距離比到軸的距離大; ③所以動點到的距離與到直線的距離相等;④所以動點的軌跡是以為焦點,以直線為準線的拋物線; ⑤甲、乙兩位同學中解答錯誤的是________(填“甲”或者“乙”),他的解答過程是從_____處開始出錯的(請在橫線上填寫① 、②、③、④ 或⑤ ).
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