【題目】如圖,在斜三棱柱中,側(cè)面與側(cè)面都是菱形,,

求證:;

,求二面角的余弦值

【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)

【解析】

試題分析:(Ⅰ)要證明線線垂直,一般要證線面垂直,因此要證線線垂直,題中只有兩個60°角的菱形,因此有等邊三角形,只要取中點(diǎn)為,則有CC1OA,CC1OB1,因此有線面垂直,從而證得題中的線線垂直;(Ⅱ)要求二面角,由己知又可得,因此OB1,OC1,OA為正方向建立空間直角坐標(biāo)系,可寫出各點(diǎn)坐標(biāo),從而求得兩平面CAB1和平面A1AB1的法向量,由法向量夾角余弦得二面角余弦,要注意二面角是銳角還是鈍角.

試題解析:證明:連AC1,CB1,則

ACC1B1CC1皆為正三角形.

CC1中點(diǎn)O,連OA,OB1,則

CC1OA,CC1OB1,則

CC1平面OAB1,則CC1AB1 4分

解:由()知,OAOB1,又AB1,

所以OAOB1.如圖所示,分別以OB1,OC1OA為正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則C(0,-1,0),B1(,0,0),A(0,0,),

設(shè)平面CAB1的法向量為m=(x1,y1,z1), 因?yàn)?/span>(,0,),(0,-1,),

所以取m=(1,-,1).

設(shè)平面A1AB1的法向量為n=(x2,y2,z2), 因?yàn)?/span>(,0,), (0,2,0),

所以n=(1,0,1).

cosm,n,因?yàn)槎娼荂-AB1-A1為鈍角,

所以二面角C-AB1-A1的余弦值為-

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】近年來,霧霾日趨嚴(yán)重,霧霾的工作、生活受到了嚴(yán)重的影響,如何改善空氣質(zhì)量已成為當(dāng)今的熱點(diǎn)問題,某空氣凈化器制造廠,決定投入生產(chǎn)某型號的空氣凈化器,根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,每生產(chǎn)該型號空氣凈化器(百臺),其總成本為(萬元),其中固定成本為12萬元,并且每生產(chǎn)1百臺的生產(chǎn)成本為10萬元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本),銷售收入(萬元)滿足,假定該產(chǎn)品銷售平衡(即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉),根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律,請完成下列問題:

(1)求利潤函數(shù)的解析式(利潤=銷售收入-總成本);

(2)工廠生產(chǎn)多少百臺產(chǎn)品時,可使利潤最多?

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【題目】已知圓的方程為,直線的方程為,點(diǎn)在直線上.

(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,過點(diǎn)作圓的割線交圓兩點(diǎn),當(dāng) 時,求直線的方程;.

(2)若過點(diǎn)作圓的切線,切點(diǎn)為,求證:經(jīng)過四點(diǎn)的圓必過定點(diǎn),并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思,關(guān)于“芻童”體積計(jì)算的描述,《九章算術(shù)》注曰:“倍上袤,下袤從之,亦倍下袤,上袤從之,各以其廣乘之,并,以高乘之,皆六而一.”其計(jì)算方法是:將上底面的長乘二,與下底面的長相加,再與上底面的寬相乘,將下底面的長乘二,與上底面的長相加,再與下底面的寬相乘;把這兩個數(shù)值相加,與高相乘,再取其六分之一.已知一個“芻童”的下底面是周長為18的矩形,上底面矩形的長為3,寬為2,“芻童”的高為3,則該“芻童”的體積的最大值為

A. B. C. 39 D.

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【題目】“微信運(yùn)動”是一個類似計(jì)步數(shù)據(jù)庫的公眾賬號.用戶只需以運(yùn)動手環(huán)或手機(jī)協(xié)處理器的運(yùn)動數(shù)據(jù)為介,然后關(guān)注該公眾號,就能看見自己與好友每日行走的步數(shù),并在同一排行榜上得以體現(xiàn).現(xiàn)隨機(jī)選取朋友圈中的50人,記錄了他們某一天的走路步數(shù),并將數(shù)據(jù)整理如下:

步數(shù)/步

10000以上

男生人數(shù)/人

1

2

7

15

5

女性人數(shù)/人

0

3

7

9

1

規(guī)定:人一天行走的步數(shù)超過8000步時被系統(tǒng)評定為“積極性”,否則為“懈怠性”.

(1)以這50人這一天行走的步數(shù)的頻率代替1人一天行走的步數(shù)發(fā)生的概率,記表示隨機(jī)抽取3人中被系統(tǒng)評為“積極性”的人數(shù),求的數(shù)學(xué)期望.

(2)為調(diào)查評定系統(tǒng)的合理性,擬從這50人中先抽取10人(男性6人,女性4人).其中男性中被系統(tǒng)評定為“積極性”的有4人,“懈怠性”的有2人,從中任意選取3人,記選到“積極性”的人數(shù)為;

其中女性中被系統(tǒng)評定為“積極性”和“懈怠性”的各有2人,從中任意選取2人,記選到“積極性”的人數(shù)為;求的概率.

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【題目】已知函數(shù).

(1)討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù);

(2)若函數(shù)的最小值為,求的取值范圍.

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【題目】一年一度的“雙十一”網(wǎng)絡(luò)購物節(jié)來了,某工廠網(wǎng)上直營店決定對某商品進(jìn)行一次評估.該商品原來每件售價為20元,年銷售7萬件.為了抓住“雙十一”的大好商機(jī),擴(kuò)大該商品的影響力,提高年銷售量.工廠決定引進(jìn)新生產(chǎn)線對該商品進(jìn)行技術(shù).升級,并提高定價到.新生產(chǎn)線投入需要固定成本萬元,變化成本萬元,另外需要萬元作為新媒體宣傳費(fèi)用.問:當(dāng)該商品技術(shù)升級后的銷售量至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時,才可能使升級后的年銷售收入不低于原收入與總投入之和?并求出此時商品的每件定價.

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【題目】某公司計(jì)劃投資A、B兩種金融產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤與投資量成正比例,其關(guān)系如圖1,B產(chǎn)品的利潤與投資量的算術(shù)平方根成正比例,其關(guān)系如圖2(注:利潤與投資量的單位:萬元).

(1)分別將A、B兩產(chǎn)品的利潤表示為投資量的函數(shù)關(guān)系式;

(2)該公司已有10萬元資金,并全部投入A、B兩種產(chǎn)品中,問:怎樣分配這10萬元投資,才能使公司獲得最大利潤?其最大利潤為多少萬元?

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【題目】近年來“雙十一”已成為中國電子商務(wù)行業(yè)的年度盛事,并且逐漸影響到國際電子商務(wù)行業(yè).某商家為了準(zhǔn)備2018年雙十一的廣告策略,隨機(jī)調(diào)查1000名淘寶客戶在2017年雙十一前后10天內(nèi)網(wǎng)購所花時間,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,這10天網(wǎng)購所花的時間近似服從,其中用樣本平均值代替,.

(Ⅰ)計(jì)算樣本的平均值,并利用該正態(tài)分布求.

(Ⅱ)利用由樣本統(tǒng)計(jì)獲得的正態(tài)分布估計(jì)整體,將這10天網(wǎng)購所花時間在小時內(nèi)的人定義為目標(biāo)客戶,對目標(biāo)客戶發(fā)送廣告提醒.現(xiàn)若隨機(jī)抽取10000名淘寶客戶,記為這10000人中目標(biāo)客戶的人數(shù).

(i)求;

(ii)問:10000人中目標(biāo)客戶的人數(shù)為何值的概率最大?

附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,.

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